3.31 演習問題 〜 ベクトルで張られる空間,基底,次元

3.124 (ベクトルで張られる空間)   次のベクトルで生成される集合が表す図形は何か述べよ.

(1) $ \displaystyle{
\left\langle \begin{bmatrix}
1 \\ -1 \\ 2
\end{bmatrix}\right\rangle }$          (2) $ \displaystyle{
\left\langle \begin{bmatrix}
1 \\ 3 \\ -2
\end{bmatrix}\right\rangle }$          (3) $ \displaystyle{
\left\langle \begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 0
\end{bmatrix},\,\,
\begin{bmatrix}
0 \\ -1 \\ 2
\end{bmatrix}\right\rangle }$          (4) $ \displaystyle{
\left\langle \begin{bmatrix}
-2 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix},\,\,
\begin{bmatrix}
1 \\ -1 \\ 3
\end{bmatrix}\right\rangle }$

3.125 (基底)   次のベクトルの組は基底となるか述べよ.

(1) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^3\ni
\left\{
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 0
\end{bmatri...
... 2 \\ 1
\end{bmatrix},\,\,
\begin{bmatrix}
-1 \\ -1 \\ 2
\end{bmatrix}\right\}}$          (2) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^3\ni
\left\{
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 1
\end{bmatri...
...\\ 1 \\ 1
\end{bmatrix},\,\,
\begin{bmatrix}
0 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}\right\}}$

(3) $ \mathbb{R}[x]_2\ni\{
x+x^2,\,\,1-x^2,\,\,x
\}$          (4) $ \mathbb{R}[x]_2\ni\{
1-x+x^2,\,\,-1+2x+2x^2,\,\,1-2x-x^2
\}$

3.126 (基底)   次のベクトルの組が基底となるよう $ a$, $ b$, $ c$ を定めよ.

(1) $ \displaystyle{
\mathbb{R}^3\ni
\left\{
\begin{bmatrix}
1 \\ 2 \\ 1
\end{bmatri...
...\\ 2 \\ 1
\end{bmatrix},\,\,
\begin{bmatrix}
a \\ b \\ c
\end{bmatrix}\right\}}$          (2) $ \mathbb{R}[x]_2\ni\{
1+x+3x^2,\,\,1+2x+3x^2,\,\,a+bx+cx^2
\}$

3.127 (基底)   ベクトル空間 $ V$ において基底のひとつを $ \{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}$ とする. 次のベクトルの組 $ \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\}$$ V$ の基底となるか述べよ.

(1) \begin{displaymath}\displaystyle{
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{v}_{1}=2\vec{u}_...
...{v}_{3}=\vec{u}_{1}+\vec{u}_{2}+\vec{u}_{3}
\end{array}\right.}\end{displaymath}          (2) \begin{displaymath}\displaystyle{
\left\{
\begin{array}{l}
\vec{v}_{1}=\vec{u}_{...
...}_3 \\
\vec{v}_{3}=\vec{u}_{1}+\vec{u}_{3}
\end{array}\right.}\end{displaymath}

3.128 (次元)   次のベクトル空間の次元と基底の組をひとつ求めよ.

(1) $ \displaystyle{\mathbb{R}^2}$      (2) $ \displaystyle{\mathbb{R}^3}$      (3) $ \displaystyle{\mathbb{R}^4}$      (4) $ \displaystyle{\mathbb{R}^n}$      (5) $ \displaystyle{\mathbb{R}[x]_2}$      (6) $ \displaystyle{\mathbb{R}[x]_3}$      (7) $ \displaystyle{\mathbb{R}[x]_4}$      (8) $ \displaystyle{\mathbb{R}[x]_n}$

(9) $ \displaystyle{
\left\langle \begin{bmatrix}
1 \\ 3
\end{bmatrix},\,\,
\begin{bmatrix}
3 \\ 9
\end{bmatrix}\right\rangle }$          (10) $ \displaystyle{
\left\langle \begin{bmatrix}
3 \\ 1
\end{bmatrix},\,\,
\begin{bmatrix}
1 \\ 2
\end{bmatrix}\right\rangle }$          (11) $ \displaystyle{
\left\langle \begin{bmatrix}
1 \\ 1
\end{bmatrix},\,\,
\begin{bmatrix}
3 \\ 1
\end{bmatrix}\right\rangle }$          (12) $ \displaystyle{
\left\langle \begin{bmatrix}
0 \\ 1
\end{bmatrix},\,\,
\begin{bmatrix}
0 \\ -3
\end{bmatrix}\right\rangle }$

(13) $ \displaystyle{
\left\langle \begin{bmatrix}
2 \\ 1
\end{bmatrix},\,\,
\begin{bmatrix}
-3 \\ 87
\end{bmatrix}\right\rangle }$          (14) $ \displaystyle{
\left\langle \begin{bmatrix}
2 \\ 1
\end{bmatrix},\,\,
\begin{b...
...
1 \\ -1
\end{bmatrix},\,\,
\begin{bmatrix}
0 \\ 2
\end{bmatrix}\right\rangle }$         (15) $ \displaystyle{
\left\langle \begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 5
\end{bmatrix},\,\,
\be...
...7
\end{bmatrix},\,\,
\begin{bmatrix}
-1 \\ 1 \\ -1
\end{bmatrix}\right\rangle }$

(16) $ \displaystyle{
\left\langle \begin{bmatrix}
1 \\ 3 \\ 2
\end{bmatrix},\,\,
\be...
...1
\end{bmatrix},\,\,
\begin{bmatrix}
-1 \\ 13 \\ 8
\end{bmatrix}\right\rangle }$         (17) $ \displaystyle{
\left\langle \begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ -1
\end{bmatrix},\,\,
\b...
... 1
\end{bmatrix},\,\,
\begin{bmatrix}
-1 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}\right\rangle }$          (18) $ \displaystyle{
\left\langle \begin{bmatrix}
1 \\ 2 \\ 0
\end{bmatrix},\,\,
\begin{bmatrix}
2 \\ 3 \\ 0
\end{bmatrix}\right\rangle }$

(19) $ \displaystyle{
\left\langle \begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix},\,\,
\be...
...\ 0
\end{bmatrix},\,\,
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}\right\rangle }$         (20) $ \displaystyle{
\left\langle \begin{bmatrix}
1 \\ 2 \\ -1
\end{bmatrix},\,\,
\begin{bmatrix}
0 \\ 3 \\ 1
\end{bmatrix}\right\rangle }$         (21) $ \displaystyle{
\left\langle \begin{bmatrix}
1 \\ -1 \\ 1
\end{bmatrix},\,\,
\begin{bmatrix}
3 \\ 4 \\ -2
\end{bmatrix}\right\rangle }$

(22) $ \displaystyle{
\left\langle \begin{bmatrix}
9 \\ 5 \\ -1
\end{bmatrix},\,\,
\begin{bmatrix}
-17 \\ -11 \\ 3
\end{bmatrix}\right\rangle }$         (23) $ \displaystyle{
\left\langle \begin{bmatrix}
2 \\ 4 \\ -3
\end{bmatrix},\,\,
\b...
... 1
\end{bmatrix},\,\,
\begin{bmatrix}
0 \\ 1 \\ -1
\end{bmatrix}\right\rangle }$         (24) $ \displaystyle{
\left\langle \begin{bmatrix}
1 \\ 3 \\ -4
\end{bmatrix},\,\,
\b...
...3
\end{bmatrix},\,\,
\begin{bmatrix}
2 \\ 3 \\ -11
\end{bmatrix}\right\rangle }$

(25) $ \displaystyle{
\left\langle \begin{bmatrix}
1 \\ 5 \\ -6
\end{bmatrix},\,\,
\b...
...\ 4
\end{bmatrix},\,\,
\begin{bmatrix}
2 \\ 1 \\ 1
\end{bmatrix}\right\rangle }$         (26) $ \displaystyle{
\left\langle \begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 2 \\ 3
\end{bmatrix},\,\...
...nd{bmatrix},\,\,
\begin{bmatrix}
-1 \\ 1 \\ 4 \\ 5
\end{bmatrix}\right\rangle }$

(27) $ \displaystyle{
\left\langle \begin{bmatrix}
1 \\ 0 \\ 1 \\ 2
\end{bmatrix},\,\...
...end{bmatrix},\,\,
\begin{bmatrix}
1 \\ 1 \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}\right\rangle }$         (28) $ \displaystyle{
\left\langle \begin{bmatrix}
1 \\ -4 \\ -2 \\ 1
\end{bmatrix},\...
...d{bmatrix},\,\,
\begin{bmatrix}
3 \\ -8 \\ -2 \\ 7
\end{bmatrix}\right\rangle }$

(29) $ \left\langle \vec{u}_{1} \right\rangle _{\mathbb{R}}$          (30) $ \left\langle \vec{u}_{1},\,\,\vec{u}_{2} \right\rangle _{\mathbb{R}}$          (31) $ \left\langle \vec{u}_{1},\,\,\vec{u}_{3}\right\rangle _{\mathbb{R}}$          (32) $ \left\langle \vec{u}_{1},\,\,\vec{u}_{2},\,\,\vec{u}_{3}\right\rangle _{\mathbb{R}}$         (33) $ \left\langle \vec{u}_{1},\,\,\vec{u}_{3},\,\,\vec{u}_{5}\right\rangle _{\mathbb{R}}$         (34) $ \left\langle \vec{u}_{2},\,\,\vec{u}_{4},\,\,\vec{u}_{6}\right\rangle _{\mathbb{R}}$         (35) $ \left\langle \vec{u}_{1},\,\,\vec{u}_{2},\,\,\vec{u}_{3},\,\,\vec{u}_{4},\,\,
\vec{u}_{5},\,\,\vec{u}_{6}\right\rangle _{\mathbb{R}}$         (36) $ \left\langle f_{1} \right\rangle _{\mathbb{R}}$         (37) $ \left\langle f_{1},\,\,f_{2} \right\rangle _{\mathbb{R}}$

(38) $ \left\langle f_{1},\,\,f_{3}\right\rangle _{\mathbb{R}}$         (39) $ \left\langle f_{1},\,\,f_{2},\,\,f_{3}\right\rangle _{\mathbb{R}}$         (40) $ \left\langle f_{1},\,\,f_{3},\,\,f_{5}\right\rangle _{\mathbb{R}}$         (41) $ \left\langle f_2,\,\,f_{4},\,\,f_{6}\right\rangle _{\mathbb{R}}$

(42) $ \left\langle f_{1},\,\,f_{3},\,\,f_{5},\,\,f_{6}\right\rangle _{\mathbb{R}}$         (43) $ \left\langle f_{1},\,\,f_{2},\,\,f_{3},\,\,f_{4},\,\,
f_{5},\,\,f_{6}\right\rangle _{\mathbb{R}}$

ただし

  $\displaystyle \vec{u}_{1}= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \ve...
...3 \end{bmatrix}, \qquad \vec{u}_{6}= \begin{bmatrix}0 \\ -1 \\ 5 \end{bmatrix},$    
  $\displaystyle f_{1}=1, \qquad f_{2}=1-x, \qquad f_{3}=-3, \qquad f_{4}=1-2x^2, \qquad f_{5}=1-x+2x^2, \qquad f_{6}=x-2x^2.$    


平成20年2月2日