3.31 演習問題 〜 ベクトルで張られる空間，基底，次元

問 3.124 (ベクトルで張られる空間)   次のベクトルで生成される集合が表す図形は何か述べよ．

(1) $${ \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}\right\rangle }$$          (2) $${ \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix}\right\rangle }$$          (3) $${ \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}\right\rangle }$$          (4) $${ \left\langle \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}\right\rangle }$$

問 3.125 (基底)   次のベクトルの組は基底となるか述べよ．

(1) $${ \mathbb{R}^3\ni \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatri... ... 2 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}\right\}}$$          (2) $${ \mathbb{R}^3\ni \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatri... ...\\ 1 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right\}}$$

(3) $\mathbb{R}[x]_2\ni\{ x+x^2,\,\,1-x^2,\,\,x \}$          (4) $\mathbb{R}[x]_2\ni\{ 1-x+x^2,\,\,-1+2x+2x^2,\,\,1-2x-x^2 \}$

問 3.126 (基底)   次のベクトルの組が基底となるよう $a$, $b$, $c$ を定めよ．

(1) $${ \mathbb{R}^3\ni \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatri... ...\\ 2 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}\right\}}$$          (2) $\mathbb{R}[x]_2\ni\{ 1+x+3x^2,\,\,1+2x+3x^2,\,\,a+bx+cx^2 \}$

問 3.127 (基底)   ベクトル空間 $V$ において基底のひとつを $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3\}$ とする． 次のベクトルの組 $\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\}$ は $V$ の基底となるか述べよ．

(1) $$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \vec{v}_{1}=2\vec{u}_... ...{v}_{3}=\vec{u}_{1}+\vec{u}_{2}+\vec{u}_{3} \end{array}\right.}$$          (2) $$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} \vec{v}_{1}=\vec{u}_{... ...}_3 \\ \vec{v}_{3}=\vec{u}_{1}+\vec{u}_{3} \end{array}\right.}$$

問 3.128 (次元)   次のベクトル空間の次元と基底の組をひとつ求めよ．

(1) $${\mathbb{R}^2}$$      (2) $${\mathbb{R}^3}$$      (3) $${\mathbb{R}^4}$$      (4) $${\mathbb{R}^n}$$      (5) $${\mathbb{R}[x]_2}$$      (6) $${\mathbb{R}[x]_3}$$      (7) $${\mathbb{R}[x]_4}$$      (8) $${\mathbb{R}[x]_n}$$

(9) $${ \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} 3 \\ 9 \end{bmatrix}\right\rangle }$$          (10) $${ \left\langle \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\right\rangle }$$          (11) $${ \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}\right\rangle }$$          (12) $${ \left\langle \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \end{bmatrix}\right\rangle }$$

(13) $${ \left\langle \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} -3 \\ 87 \end{bmatrix}\right\rangle }$$          (14) $${ \left\langle \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{b... ... 1 \\ -1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix}\right\rangle }$$         (15) $${ \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix},\,\, \be... ...7 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}\right\rangle }$$

(16) $${ \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix},\,\, \be... ...1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} -1 \\ 13 \\ 8 \end{bmatrix}\right\rangle }$$         (17) $${ \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix},\,\, \b... ... 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right\rangle }$$          (18) $${ \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}\right\rangle }$$

(19) $${ \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \be... ...\ 0 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right\rangle }$$         (20) $${ \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}\right\rangle }$$         (21) $${ \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ -2 \end{bmatrix}\right\rangle }$$

(22) $${ \left\langle \begin{bmatrix} 9 \\ 5 \\ -1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} -17 \\ -11 \\ 3 \end{bmatrix}\right\rangle }$$         (23) $${ \left\langle \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ -3 \end{bmatrix},\,\, \b... ... 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}\right\rangle }$$         (24) $${ \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -4 \end{bmatrix},\,\, \b... ...3 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ -11 \end{bmatrix}\right\rangle }$$

(25) $${ \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ -6 \end{bmatrix},\,\, \b... ...\ 4 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right\rangle }$$         (26) $${ \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix},\,\... ...nd{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 4 \\ 5 \end{bmatrix}\right\rangle }$$

(27) $${ \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix},\,\... ...end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right\rangle }$$         (28) $${ \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix},\... ...d{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} 3 \\ -8 \\ -2 \\ 7 \end{bmatrix}\right\rangle }$$

(29) $\left\langle \vec{u}_{1} \right\rangle _{\mathbb{R}}$          (30) $\left\langle \vec{u}_{1},\,\,\vec{u}_{2} \right\rangle _{\mathbb{R}}$          (31) $\left\langle \vec{u}_{1},\,\,\vec{u}_{3}\right\rangle _{\mathbb{R}}$          (32) $\left\langle \vec{u}_{1},\,\,\vec{u}_{2},\,\,\vec{u}_{3}\right\rangle _{\mathbb{R}}$         (33) $\left\langle \vec{u}_{1},\,\,\vec{u}_{3},\,\,\vec{u}_{5}\right\rangle _{\mathbb{R}}$         (34) $\left\langle \vec{u}_{2},\,\,\vec{u}_{4},\,\,\vec{u}_{6}\right\rangle _{\mathbb{R}}$         (35) $\left\langle \vec{u}_{1},\,\,\vec{u}_{2},\,\,\vec{u}_{3},\,\,\vec{u}_{4},\,\, \vec{u}_{5},\,\,\vec{u}_{6}\right\rangle _{\mathbb{R}}$         (36) $\left\langle f_{1} \right\rangle _{\mathbb{R}}$         (37) $\left\langle f_{1},\,\,f_{2} \right\rangle _{\mathbb{R}}$

(38) $\left\langle f_{1},\,\,f_{3}\right\rangle _{\mathbb{R}}$         (39) $\left\langle f_{1},\,\,f_{2},\,\,f_{3}\right\rangle _{\mathbb{R}}$         (40) $\left\langle f_{1},\,\,f_{3},\,\,f_{5}\right\rangle _{\mathbb{R}}$         (41) $\left\langle f_2,\,\,f_{4},\,\,f_{6}\right\rangle _{\mathbb{R}}$

(42) $\left\langle f_{1},\,\,f_{3},\,\,f_{5},\,\,f_{6}\right\rangle _{\mathbb{R}}$         (43) $\left\langle f_{1},\,\,f_{2},\,\,f_{3},\,\,f_{4},\,\, f_{5},\,\,f_{6}\right\rangle _{\mathbb{R}}$

ただし

$$\vec{u}_{1}= \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \ve... ...3 \end{bmatrix}, \qquad \vec{u}_{6}= \begin{bmatrix}0 \\ -1 \\ 5 \end{bmatrix},$$

$$f_{1}=1, \qquad f_{2}=1-x, \qquad f_{3}=-3, \qquad f_{4}=1-2x^2, \qquad f_{5}=1-x+2x^2, \qquad f_{6}=x-2x^2.$$

平成20年2月2日