3.32 解空間

定義 3.129 (解空間)   同次方程式 $A\vec{x}=\vec{0}$ の解の集合

$$W=\left\{\left.\,{\vec{x}\in\mathbb{R}^{n}}\,\,\right\vert\,\,{A\vec{x}=\vec{0}}\,\right\}$$

を解空間（solution space）という．

定理 3.130 (解空間と部分空間)   解空間 $W$ は $\mathbb{R}^{n}$ の部分空間である．

（証明）     $\vec{x},\vec{y}\in W$ とする． すなわち，$\vec{x}$, $\vec{y}$ は方程式 $A\vec{x}=\vec{0}$ の解であり，

$$A\vec{x}=\vec{0}, \qquad A\vec{y}=\vec{0}$$

をみたすとする． このとき，

$$A(\alpha\vec{x}+\beta\vec{y})= \alpha(A\vec{x})+\beta(A\vec{y})= \alpha\vec{0}+\beta\vec{0}=\vec{0}$$

となるので $\alpha\vec{x}+\beta\vec{y}$ もまた解である． よって $\alpha\vec{x}+\beta\vec{y}\in W$ となり， $W$ は $\mathbb{R}^n$ の部分空間である．

注意 3.131 (非同次系の解空間)   非同次方程式 $A\vec{x}=\vec{b}\,\,(\neq\vec{0})$ の 解集合 $W$ は $\mathbb{R}^n$ の部分空間ではない． なぜなら， $A\vec{0}=\vec{0}\neq\vec{b}$ より 原点 $\vec{0}$ を解にもたない． よって $W\not\ni\vec{0}$ であり， 部分空間とはならない．

定義 3.132 (一般解)   解空間 $W$ の基底 $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_k\}$ を 方程式 $A\vec{x}=\vec{0}$ の基本解という． このとき $W$ の任意のベクトルは 基本解の線形結合で

$$\vec{x}= c_1\vec{u}_1+ c_2\vec{u}_2+ \cdots+ c_k\vec{u}_k$$

と表される． これを方程式 $A\vec{x}=\vec{0}$ の 一般解（general solution）という．

定理 3.133 (解空間の次元)   同次系の解空間 $W=\left\{\left.\,{\vec{x}\in\mathbb{R}^n}\,\,\right\vert\,\,{A\vec{x}=\vec{0}}\,\right\}$ の次元は解の任意定数の個数と等しく，

$$\dim(W)=n-\mathrm{rank}\,(A)$$

で与えられる．

（証明）     行列 $A$ を簡約化して 方程式 $A\vec{x}=\vec{0}$ の解を

$$\vec{x}= c_1\vec{u}_1+ c_2\vec{u}_2+ \cdots+ c_k\vec{u}_k$$

の形で得たとする． ただし $k=n-\mathrm{rank}\,A$ とおく． このときベクトルの組 $\{\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_k\}$ が 1 次独立か調べる． これらの 1 次関係は

$$\vec{0}= c_1\vec{u}_1+ c_2\vec{u}_2+ \cdots+ c_k\vec{u}_k= \begin... ...end{bmatrix} \begin{bmatrix}c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_k \end{bmatrix} =U\vec{c}$$

となる． 行列 $U$ は必ず

$$U= \begin{bmatrix}* & * & * & \cdots & * \\ [-1ex] 1 & 0 & 0 & \c... ...\\ [-1ex] * & * & * & \cdots & * \\ [-1ex] * & * & * & \cdots & * \end{bmatrix}$$

の形をしているので $c_1=0,c_2=0,\cdots,c_k=0$ が成り立つ． よってベクトルの組 $\{\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_k\}$ は 1 次独立である． このとき解空間 $W$ は

$$W= \left\{\left.\,{c_1\vec{u}_1+\cdots+c_k\vec{u}_k}\,\,\right\ve... ...= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_k\right\rangle$$

となるので $W$ の基底は $\{\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_k\}$ である． よって $\dim(W)=k=n-\mathrm{rank}\,(A)$ となる．

例 3.134 (解空間の具体例)   解空間

$$W= \left\{ \vec{x}\in\mathbb{R}^5 \,\,\left\vert\,\, \begin{array... ...2x_2+x_3+2x_4+3x_5=0 \\ 2x_1-4x_2+3x_3+3x_4+8x_5=0 \end{array} \right. \right\}$$

を考える． 方程式を $A\vec{x}=\vec{0}$ とおく． $A$ を簡約化して

$$A\to B= \begin{bmatrix}1 & -2 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$$

となる． これより，方程式は

$$x_{1}=2x_{2}-3x_4-x_5, \qquad x_{3}=x_4-2x_5$$

と書き換わる． $\mathrm{rank}\,A=2$ より任意定数の個数は $5-\mathrm{rank}\,(A)=3$ となり， 任意定数を $x_2=c_1,x_3=c_2,x_5=c_3\in\mathbb{R}$ とおく． よって一般解は

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5}... ... \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = c_{1}\vec{a}_1+ c_{2}\vec{a}_2+ c_{3}\vec{a}_3$$

と得られる． ここで $\vec{x}=\vec{a}_1$, $\vec{x}=\vec{a}_2$, $\vec{x}=\vec{a}_3$ は基本解である． 解空間は

$$W= \left\{\left.\,{c_{1}\vec{a}_1+c_{2}\vec{a}_2+c_{3}\vec{a}_3}\... ...}}\,\right\}= \left\langle \vec{a}_1,\,\, \vec{a}_2,\,\, \vec{a}_3\right\rangle$$

となる． $W$ の基底を求める． $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3$ が 1 次独立であるか調べる． 1 次関係

$$c_{1}\vec{a}_1+ c_{2}\vec{a}_2+ c_{3}\vec{a}_3 =\vec{0}$$

は

$$\left. \begin{array}{r} 2c_1-3c_2-c_3=0 \\ c_1=0 \\ c_2-2c_3=0 \\ c_2=0 \\ c_3=0 \end{array}\right\}$$

となる． よって条件をみたすのは $c_1=0,c_2=0,c_3=0$ のときのみである． $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3$ は 1 次独立である． $W$ の基底は $\{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}$ となる． 以上より

$$\dim(W)=3$$

を得る． これは解の任意定数の個数と等しい．

平成20年2月2日