3.32 解空間

定義 3.129 (解空間)   同次方程式 $ A\vec{x}=\vec{0}$ の解の集合

$\displaystyle W=\left\{\left.\,{\vec{x}\in\mathbb{R}^{n}}\,\,\right\vert\,\,{A\vec{x}=\vec{0}}\,\right\}$    

解空間(solution space)という.

定理 3.130 (解空間と部分空間)   解空間 $ W$ $ \mathbb{R}^{n}$ の部分空間である.


(証明)     $ \vec{x},\vec{y}\in W$ とする. すなわち,$ \vec{x}$, $ \vec{y}$ は方程式 $ A\vec{x}=\vec{0}$ の解であり,

$\displaystyle A\vec{x}=\vec{0}, \qquad A\vec{y}=\vec{0}$    

をみたすとする. このとき,

$\displaystyle A(\alpha\vec{x}+\beta\vec{y})= \alpha(A\vec{x})+\beta(A\vec{y})= \alpha\vec{0}+\beta\vec{0}=\vec{0}$    

となるので $ \alpha\vec{x}+\beta\vec{y}$ もまた解である. よって $ \alpha\vec{x}+\beta\vec{y}\in W$ となり, $ W$ $ \mathbb{R}^n$ の部分空間である.

注意 3.131 (非同次系の解空間)   非同次方程式 $ A\vec{x}=\vec{b}\,\,(\neq\vec{0})$ の 解集合 $ W$ $ \mathbb{R}^n$ の部分空間ではない. なぜなら, $ A\vec{0}=\vec{0}\neq\vec{b}$ より 原点 $ \vec{0}$ を解にもたない. よって $ W\not\ni\vec{0}$ であり, 部分空間とはならない.

定義 3.132 (一般解)   解空間 $ W$ の基底 $ \{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\cdots,\vec{u}_k\}$ を 方程式 $ A\vec{x}=\vec{0}$基本解という. このとき $ W$ の任意のベクトルは 基本解の線形結合で

$\displaystyle \vec{x}= c_1\vec{u}_1+ c_2\vec{u}_2+ \cdots+ c_k\vec{u}_k$    

と表される. これを方程式 $ A\vec{x}=\vec{0}$一般解(general solution)という.

定理 3.133 (解空間の次元)   同次系の解空間 $ W=\left\{\left.\,{\vec{x}\in\mathbb{R}^n}\,\,\right\vert\,\,{A\vec{x}=\vec{0}}\,\right\}$ の次元は解の任意定数の個数と等しく,

$\displaystyle \dim(W)=n-\mathrm{rank}\,(A)$    

で与えられる.


(証明)     行列 $ A$ を簡約化して 方程式 $ A\vec{x}=\vec{0}$ の解を

$\displaystyle \vec{x}= c_1\vec{u}_1+ c_2\vec{u}_2+ \cdots+ c_k\vec{u}_k$    

の形で得たとする. ただし $ k=n-\mathrm{rank}\,A$ とおく. このときベクトルの組 $ \{\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_k\}$ が 1 次独立か調べる. これらの 1 次関係は

$\displaystyle \vec{0}= c_1\vec{u}_1+ c_2\vec{u}_2+ \cdots+ c_k\vec{u}_k= \begin...
...end{bmatrix} \begin{bmatrix}c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_k \end{bmatrix} =U\vec{c}$    

となる. 行列 $ U$ は必ず

$\displaystyle U= \begin{bmatrix}* & * & * & \cdots & * \\ [-1ex] 1 & 0 & 0 & \c...
...\\ [-1ex] * & * & * & \cdots & * \\ [-1ex] * & * & * & \cdots & * \end{bmatrix}$    

の形をしているので $ c_1=0,c_2=0,\cdots,c_k=0$ が成り立つ. よってベクトルの組 $ \{\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_k\}$ は 1 次独立である. このとき解空間 $ W$

$\displaystyle W= \left\{\left.\,{c_1\vec{u}_1+\cdots+c_k\vec{u}_k}\,\,\right\ve...
...= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_k\right\rangle$    

となるので $ W$ の基底は $ \{\vec{u}_1,\cdots,\vec{u}_k\}$ である. よって $ \dim(W)=k=n-\mathrm{rank}\,(A)$ となる.

3.134 (解空間の具体例)   解空間

$\displaystyle W= \left\{ \vec{x}\in\mathbb{R}^5 \,\,\left\vert\,\, \begin{array...
...2x_2+x_3+2x_4+3x_5=0 \\ 2x_1-4x_2+3x_3+3x_4+8x_5=0 \end{array} \right. \right\}$    

を考える. 方程式を $ A\vec{x}=\vec{0}$ とおく. $ A$ を簡約化して

$\displaystyle A\to B= \begin{bmatrix}1 & -2 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 \end{bmatrix}$    

となる. これより,方程式は

$\displaystyle x_{1}=2x_{2}-3x_4-x_5, \qquad x_{3}=x_4-2x_5$    

と書き換わる. $ \mathrm{rank}\,A=2$ より任意定数の個数は $ 5-\mathrm{rank}\,(A)=3$ となり, 任意定数を $ x_2=c_1,x_3=c_2,x_5=c_3\in\mathbb{R}$ とおく. よって一般解は

$\displaystyle \vec{x}= \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5}...
... \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = c_{1}\vec{a}_1+ c_{2}\vec{a}_2+ c_{3}\vec{a}_3$    

と得られる. ここで $ \vec{x}=\vec{a}_1$, $ \vec{x}=\vec{a}_2$, $ \vec{x}=\vec{a}_3$ は基本解である. 解空間は

$\displaystyle W= \left\{\left.\,{c_{1}\vec{a}_1+c_{2}\vec{a}_2+c_{3}\vec{a}_3}\...
...}}\,\right\}= \left\langle \vec{a}_1,\,\, \vec{a}_2,\,\, \vec{a}_3\right\rangle$    

となる. $ W$ の基底を求める. $ \vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3$ が 1 次独立であるか調べる. 1 次関係

$\displaystyle c_{1}\vec{a}_1+ c_{2}\vec{a}_2+ c_{3}\vec{a}_3 =\vec{0}$    

$\displaystyle \left. \begin{array}{r} 2c_1-3c_2-c_3=0 \\ c_1=0 \\ c_2-2c_3=0 \\ c_2=0 \\ c_3=0 \end{array}\right\}$    

となる. よって条件をみたすのは $ c_1=0,c_2=0,c_3=0$ のときのみである. $ \vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3$ は 1 次独立である. $ W$ の基底は $ \{\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\}$ となる. 以上より

$\displaystyle \dim(W)=3$    

を得る. これは解の任意定数の個数と等しい.


平成20年2月2日