3.48 演習問題 〜 ベクトル空間の和，直交補空間

問 3.204 (ベクトル空間の和)   次の $\mathbb{R}^3$ の部分空間 $W_1$, $W_2$ に対して 共通部分 $W_1\cap W_2$ と 和 $W_1+W_2=\left\{\left.\,{\vec{u}+\vec{v}}\,\,\right\vert\,\,{\vec{u}\in W_{1}, \vec{v}\in W_{2}}\,\right\}$ を求めよ．

(1) $${ W_1= \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right\rangle }$$, $${W_2= \left\langle \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right\rangle }$$          (2) $${ W_1= \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right\rangle }$$, $${W_2= \left\langle \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right\rangle }$$

問 3.205 (ベクトル空間の和)   次の部分空間 $W_{1}$, $W_{2}$, $W_{3}$ の 和空間 $W_{12}=W_{1}+W_{2}$, $W_{13}=W_{1}+W_{3}$, $W_{23}=W_{2}+W_{3}$, $W_{123}=W_{1}+W_{2}+W_{3}$ の基底と次元を求めよ．
         $${ W_{1}= \left\langle \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}\... ... -1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right\rangle }$$

問 3.206 (ベクトル空間の和)   部分空間 $W_1$, $W_2$ が $W_1\cap W_2=\{\vec{0}\}$ をみたすとき $W_1+W_2=W_1\oplus W_2$ と表記し直和と呼ぶ． 次の $W_1, W_2$ に対してこれが成立するか否か示せ．

(1) $${W_1= \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right\rangle }$$, $${W_2= \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right\rangle }$$          (2) $${W_1= \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right\rangle }$$, $${W_2= \left\langle \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right\rangle }$$

(3) $${W_1= \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right\rangle }$$, $${W_2= \left\langle \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right\rangle }$$          (4) $${W_1= \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}\right\rangle }$$, $${W_2= \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right\rangle }$$

(5) $${W_1= \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}\right\rangle }$$, $${W_2= \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}\right\rangle }$$

問 3.207 (直交補空間)   次のベクトル空間 $V\,(=\mathbb{R}^{n},\mathbb{C}^{n})$ における部分空間 $W$ の 直交補空間 $W^{\bot}=\left\{\left.\,{\vec{v}\in V}\,\,\right\vert\,\,{\left({\vec{v}}\,,\,{\vec{u}}\right)=0, \forall\vec{u}\in W}\,\right\}$ を求めよ．

(1) $${ \mathbb{R}^{2}\supset W= \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} \right\rangle }$$         (2) $${ \mathbb{R}^{3}\supset W= \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right\rangle }$$         (3) $${ \mathbb{C}^{2}\supset W= \left\langle \begin{bmatrix} 1+i \\ -2-3i \end{bmatrix} \right\rangle }$$         (4) $${ \mathbb{R}[x]_{1}\supset W= \left\langle 1+x\right\rangle }$$         (5) $${ \mathbb{R}^{3}\supset W=\left\{ \vec{x}\in\mathbb{R}^{3}\;\left... ...egin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & 0 \end{bmatrix}\vec{x}=0 \right.\right\} }$$

問 3.208 (直交補空間と直和分解)   $\mathbb{R}^3$ を $W$ とその直交補空間 $W^{\perp}$ とに直和分解 $\mathbb{R}^{3}=W\oplus W^{\perp}$せよ．

(1) $${ W= \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}\right\rangle }$$          (2) $${ W= \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}\right\rangle }$$          (3) $${ W= \left\langle \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix},\,\, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}\right\rangle }$$

平成20年2月2日