3.47 正規直交基底で生成される部分空間の直交補空間

例 3.202 (直交補空間の具体例) $\mathbb{R}^4$ において， $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{u}_3,\vec{u}_4\}$ を直交基底とする．このとき

$\displaystyle \mathbb{R}^4= \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_... ...angle \oplus \left\langle \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_3,\,\, \vec{u}_4 \right\rangle$

が成り立つ．ここで

$\displaystyle W_1= \left\langle \vec{u}_1\right\rangle , \qquad W_{234}= \left\langle \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_3,\,\, \vec{u}_4\right\rangle$

とおくと， $W_{234}$ は $\mathbb{R}^4$ における $W_{1}$ の直交補空間となる．なぜなら任意のベクトル $\vec{x}\in W_1$ , $\vec{y}\in W_{234}$ に対して

$\displaystyle \left({\vec{x}}\,,\,{\vec{y}}\right)= \left({c_1\vec{u}_{1}}\,,\,... ...\,,\,{\vec{u}_3}\right)+ c_1c_{4}\left({\vec{u}_{1}}\,,\,{\vec{u}_{4}}\right)=0$

が成り立ち， $\vec{x}$ と $\vec{y}$ は直交するからである．よって

$\displaystyle \mathbb{R}^4=W_1\oplus W_{234}, \qquad W_1\perp W_{234}$

であり， $\mathbb{R}^4$ は

とその直交補空間 $W_{234}$ によって直和分解される．同様に

$\displaystyle \mathbb{R}^4$	$\displaystyle =W_1\oplus W_{234},\qquad W_{1}\perp W_{234}$
	$\displaystyle =W_2\oplus W_{134},\qquad W_{2}\perp W_{134}$
	$\displaystyle =W_3\oplus W_{124},\qquad W_{3}\perp W_{124}$
	$\displaystyle =W_{12}\oplus W_{34},\qquad W_{12}\perp W_{34}$
	$\displaystyle =W_{13}\oplus W_{24},\qquad W_{13}\perp W_{24}$
	$\displaystyle =W_{14}\oplus W_{23},\qquad W_{14}\perp W_{23}$

と部分空間とのその直交補空間とで直和分解される．ただし，

$\displaystyle W_{i}= \left\langle \vec{u}_i\right\rangle ,\quad W_{ij}= \left\l... ...quad W_{ijk}= \left\langle \vec{u}_i,\,\, \vec{u}_j,\,\, \vec{u}_k\right\rangle$

とおく．

例 3.203 (直交補空間の具体例) 直交基底 $\{\vec{u}_{1},\cdots,\vec{u}_{n}\}$ で生成されるベクトル空間

$\displaystyle V= \left\langle \vec{u}_{1},\,\, \vec{u}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{k},\,\, \vec{u}_{k+1},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{n}\right\rangle$

を考える．このとき

は直和分解されて

$\displaystyle V=W_{1}\oplus V_1, \qquad W_{1}= \left\langle \vec{u}_{1},\,\, \v... ...\quad V_1= \left\langle \vec{u}_{k+1},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{n}\right\rangle$

と表される．

は

における

の直交補空間である．さらに

を直和分解して

$\displaystyle V_1=W_{2}\oplus V_2, \qquad W_{2}= \left\langle \vec{u}_{k+1},\,\... ...eft\langle \vec{u}_{l+1},\,\, \cdots,\,\, \vec{u}_{n}\right\rangle , \qquad k<l$

と表される．

は

における

の直交補空間である．同様に繰り返して直交補空間で直和分解が可能である：

$\displaystyle V=W_{1}\oplus V_1 =W_{1}\oplus(W_2\oplus V_2) =W_{1}\oplus(W_2\oplus(W_3\oplus V_3)) =\cdots.$