3.46 ベクトルで生成される部分空間の直交補空間

定理 3.200 (直交補空間の次元) $\mathbb{R}^n$ の部分空間

$\displaystyle W= \left\langle \vec{a}_{1},\,\, \vec{a}_{2},\,\, \cdots,\,\, \vec{a}_{n}\right\rangle$

の次元は

$\displaystyle \dim(W)=\mathrm{rank}\,(A), \qquad A= \begin{bmatrix}\vec{a}_{1} & \vec{a}_{2} & \cdots & \vec{a}_{n} \end{bmatrix}$

である．一方，

の直交補空間 $W^{\perp}$ は方程式 ${A}^{T}\vec{x}=\vec{0}$ の解空間であり，

$\displaystyle W^{\perp}=\left\{\left.\,{\vec{x}}\,\,\right\vert\,\,{{A}^{T}\vec{x}=\vec{0}}\,\right\}$

となり，次元は

$\displaystyle \dim(W^{\perp})=n-\mathrm{rank}\,(A)$

である．

（証明）の任意のベクトルは

$\displaystyle \vec{v}= c_1\vec{a}_1+ c_2\vec{a}_2+\cdots+ c_n\vec{a}_n, \qquad \forall c_1,c_2,\cdots,c_n\in\mathbb{R}$

と表される． $W^{\perp}$ の元 $\vec{x}$ は $\vec{x}\perp W$ であり $\left({\vec{v}}\,,\,{\vec{x}}\right)=0$ をみたす．これより，

$\displaystyle \left({\vec{v}}\,,\,{\vec{x}}\right)$	$\displaystyle = \left({c_1\vec{a}_1+ c_2\vec{a}_2+\cdots+ c_n\vec{a}_n}\,,\,{\vec{x}}\right)$
	$\displaystyle = c_1\left({\vec{a}_1}\,,\,{\vec{x}}\right)+ c_2\left({\vec{a}_2}\,,\,{\vec{x}}\right)+ \cdots+ c_n\left({\vec{a}_n}\,,\,{\vec{x}}\right)=0$

となる． $c_1,c_2,\cdots,c_n$ は任意の実数であるから，

$\displaystyle \left({\vec{a}_1}\,,\,{\vec{x}}\right)=0,\quad \left({\vec{a}_2}\,,\,{\vec{x}}\right)=0,\quad \cdots,\quad \left({\vec{a}_n}\,,\,{\vec{x}}\right)=0$

が成り立つ．これは

$\displaystyle {\vec{a}_1}^{T}\vec{x}=0,\quad {\vec{a}_2}^{T}\vec{x}=0,\quad \cdots,\quad {\vec{a}_n}^{T}\vec{x}=0,$

であり，

$\displaystyle \begin{bmatrix}{\vec{a}_1}^{T} \\ {\vec{a}_2}^{T} \\ \vdots \\ {\vec{a}_n}^{T} \end{bmatrix} \vec{x}= {A}^{T}\vec{x}= \vec{0}$

と表される．よって $W^{\perp}$ は方程式 ${A}^{T}\vec{x}=\vec{0}$ の解空間である．

例 3.201 (直交補空間の具体例) $\mathbb{R}^3$ における部分空間

$\displaystyle W= \left\langle \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\,\, \be... ...,{c_1\vec{a}_1+c_2\vec{a}_2}\,\,\right\vert\,\,{c_1,c_2\in\mathbb{R}}\,\right\}$

の直交補空間 $W^\perp$ を求める． $W^\perp$ の任意のベクトルを $\vec{x}$ とする． $\vec{x}$ は

の任意のベクトル $\vec{v}=c_1\vec{a}_1+c_2\vec{a}_2$ と直交するので $\left({\vec{v}}\,,\,{\vec{x}}\right)=0$ が成り立つ．こりより，

$\displaystyle \left({\vec{v}}\,,\,{\vec{x}}\right)= \left({c_1\vec{a}_1+c_2\vec... ...t({\vec{a}_1}\,,\,{\vec{x}}\right)+ c_2\left({\vec{a}_2}\,,\,{\vec{x}}\right)=0$

と表される．すべての

について成り立つためには

$\displaystyle \left({\vec{a}_1}\,,\,{\vec{x}}\right)= x_1+x_2=0, \quad \left({\vec{a}_2}\,,\,{\vec{x}}\right)= x_2+x_3=0$

をみたさなければならない．この連立方程式を書き直すと

$\displaystyle {\vec{a}_1}^{T}\vec{x}=0, \quad {\vec{a}_2}^{T}\vec{x}=0$

であり，

$\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatri... ...T}\vec{x}=\vec{0}, \qquad A= \begin{bmatrix}\vec{a}_1 & \vec{a}_2 \end{bmatrix}$

となる．これを解く．係数行列を簡約化すると

$\displaystyle {A}^{T}= \begin{bmatrix}{\vec{a}_1}^{T} \\ {\vec{a}_2}^{T} \end{b... ... & 1 & 1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

となるので，解は

$\displaystyle \vec{x}= c \begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} = c\,\vec{a}_3, \qquad \forall c\in\mathbb{R}$

となる．よって，直交補空間は

$\displaystyle W^{\perp}= \left\{\left.\,{\vec{x}\in\mathbb{R}^3}\,\,\right\vert... ...t\rangle = \left\langle \begin{bmatrix}1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\rangle$

と得られる． $\det\begin{bmatrix}\vec{a}_1 & \vec{a}_2 & \vec{a}_3\end{bmatrix}\neq0$ より $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3$ は 1 次独立である．よって $W\cap W^\perp=\{\vec{0}\}$ であるので，

$\displaystyle \mathbb{R}^3=W\oplus W^\perp, \qquad 3=\dim(\mathbb{R}^3)= \dim(W)+\dim(W^\perp)=2+1$

が成り立つ．また $\{\vec{a}_1$ , $\vec{a}_2$ , $\vec{a}_3\}$ は $\mathbb{R}^3$ の基底となることに注意する．つまり

$\displaystyle W= \left\langle \vec{a}_1,\,\, \vec{a}_2\right\rangle , \quad W^\... ...\mathbb{R}^3= \left\langle \vec{a}_1,\,\, \vec{a}_2,\,\, \vec{a}_3\right\rangle$

である．