3.45 解空間の直交補空間

例 3.198 (直交補空間の具体例) $\mathbb{R}^3$ の部分空間

$\displaystyle W=\left\{\left.\,{\vec{x}\in \mathbb{R}^3}\,\,\right\vert\,\,{x_{... ...\end{bmatrix}\right\rangle = \left\langle \vec{u}_1,\,\, \vec{u}_2\right\rangle$

の基底 $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}$ にそれぞれ直交するベクトルのひとつは

$\displaystyle \vec{u}_3= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \left... ..._1}\,,\,{\vec{u}_3}\right)=0, \quad \left({\vec{u}_1}\,,\,{\vec{u}_3}\right)=0,$

である．このベクトルにより生成される部分空間

$\displaystyle W^{\perp}= \left\langle \vec{u}_3\right\rangle$

は

の直交補空間 $W^\perp$ となる．なぜなら，任意のベクトル $\vec{u}=c_1\vec{u}_1+c_2\vec{u}_2\in W$ , $\vec{v}=c_3\vec{u}_3\in W^\perp$ に対して

$\displaystyle \left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)= c_1c_3\left({\vec{u}_1}\,,\,{\vec{u}_3}\right)+ c_2c_3\left({\vec{u}_2}\,,\,{\vec{u}_3}\right)=0$

が成り立つからである．また，

$\displaystyle W\oplus W^{\perp}=\mathbb{R}^3, \qquad \dim(W)+\dim(W^\perp)=2+1=\dim(\mathbb{R}^3)=3$

が成り立つ．

例 3.199 (直交補空間の具体例) 方程式 $A\vec{x}=\vec{0}$ の解空間

$\displaystyle W= \left\{ \vec{x}\in\mathbb{R}^3\,\,\left\vert\,\, \begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix} \vec{x}=\vec{0} \right. \right\}$

の $\mathbb{R}^3$ における直交補空間 $W^\perp$ を求める．行列

を簡約化すると

$\displaystyle A= \begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix} \quad\to\quad \begin{bmatrix}1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}$

となるから，解空間

は

$\displaystyle W= \left\langle \begin{bmatrix}5 \\ -3 \\ 1 \end{bmatrix}\right\rangle = \left\langle \vec{u}_1\right\rangle$

と表される．

の任意のベクトル $\vec{u}=c\,\vec{u}_1$ ( $c\in\mathbb{R}$ ) と直交するベクトル $\vec{x}={\begin{bmatrix}x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix}}^{T}$ を求める． $\left({\vec{x}}\,,\,{\vec{u}}\right)=0$ より， $\vec{x}$ の成分は方程式

をみたさなければならない．よって，

$\displaystyle W^{\perp}= \left\{\left.\,{\vec{x}\in\mathbb{R}^3}\,\,\right\vert\,\,{x_1-3x_2+x_3=0}\,\right\}$

となる．これは方程式 $B\vec{x}=\vec{0}$ の解空間であるから，行列

を簡約化して

$\displaystyle B= \begin{bmatrix}5 & -3 & 1 \end{bmatrix} \quad\to\quad \begin{bmatrix}1 & -\frac{3}{5} & \frac{1}{5} \end{bmatrix}$

より，

$\displaystyle W^{\perp}= \left\langle \begin{bmatrix}3 \\ 5 \\ 0 \end{bmatrix},... ...\end{bmatrix}\right\rangle = \left\langle \vec{u}_2,\,\, \vec{u}_3\right\rangle$

と得られる．また，

$\displaystyle W\oplus W^{\perp}=\mathbb{R}^3, \qquad \dim(W)+\dim(W^\perp)=1+2=\dim(\mathbb{R}^3)=3$

が成り立ち， $\{\vec{u}_1,\,\,\vec{u}_2,\,\,\vec{u}_3\}$ は $\mathbb{R}^3$ の基底となる．