3.44 直交補空間
定義 3.190 (ベクトルと部分空間の直交) 内積空間において, ベクトル
と 部分空間
に含まれる すべてのベクトル
とが直交するとき, すなわち
が成り立つとき,と
とは直交するといい,
と表記する.
例 3.191 (ベクトルと部分空間とが直交する具体例)の部分空間
とベクトルと は直交
する. なぜなら,方程式
の 解空間が
であるからである. この例では
は平面であり
は
の法線ベクトルである.
また, ベクトル
(
) も
をみたすので, 直線
上のすべてのベクトルに対して,
が成り立つ.
に直交するベクトルは 1 通りではないことに注意する.
定義 3.192 (直交補空間) 内積空間とその部分空間
に対して, 部分空間
をにおける
の直交補空間という.
定理 3.193 (直交補空間は部分空間) 直交補空間は
の部分空間である.
問 3.194 (直交補空間は部分空間) これを示せ.
定理 3.195 (直交補空間による直和分解) 内積空間における部分空間
の直交補空間
は
をみたす.次元は
の関係が成り立つ.
例 3.196 (直交補空間の具体例)の部分空間
の直交補空間は
である.このとき,
が成り立つ.
例 3.197 (直交補空間の具体例)における部分空間
の直交補空間は
である. なぜなら, 任意のベクトル,
に対して
が成り立つからである.
平成20年2月2日