3.44 直交補空間

定義 3.190 (ベクトルと部分空間の直交)   内積空間 $V$ において， ベクトル $\vec{a}\in V$ と 部分空間 $W$ に含まれる すべてのベクトル $\vec{u}$ とが直交するとき， すなわち

$$\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{u}}\right)=0, \qquad \forall \vec{u}\in W$$

が成り立つとき， $\vec{a}$ と $W$ とは直交するといい，

$$\vec{a}\perp W$$

と表記する．

例 3.191 (ベクトルと部分空間とが直交する具体例)   $\mathbb{R}^3$ の部分空間

$$W=\left\{\left.\,{\vec{x}\in \mathbb{R}^3}\,\,\right\vert\,\,{x_{1}+x_{2}+x_{3}=0}\,\right\}$$

とベクトル $\vec{a}={\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\end{bmatrix}}^{T}$ と は直交 $\vec{a}\perp W$ する． なぜなら，方程式 $\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{x}}\right)=0$ の 解空間が $W$ であるからである． この例では $W$ は平面であり $\vec{a}$ は $W$ の法線ベクトルである．

また， ベクトル $\alpha\vec{a}$ ( $\alpha\in\mathbb{R}$) も $\left({\alpha\vec{a}}\,,\,{\vec{x}}\right)=\alpha\left({\vec{a}}\,,\,{\vec{x}}\right)=0$ をみたすので， 直線 $\alpha\vec{a}$ 上のすべてのベクトルに対して， $\alpha\vec{a}\perp W$ が成り立つ． $W$ に直交するベクトルは 1 通りではないことに注意する．

定義 3.192 (直交補空間)   内積空間 $V$ とその部分空間 $W$ に対して， 部分空間

$$W^{\perp}=\left\{\left.\,{\vec{v}\in V}\,\,\right\vert\,\,{\vec{v}\perp W}\,\right\}$$

を $V$ における $W$ の直交補空間という．

定理 3.193 (直交補空間は部分空間)   直交補空間 $W^{\perp}$ は $V$ の部分空間である．

問 3.194 (直交補空間は部分空間)   これを示せ．

定理 3.195 (直交補空間による直和分解)   内積空間 $V$ における部分空間 $W$ の直交補空間 $W^\perp$ は

$$V =W\oplus W^{\perp}$$

をみたす．次元は

$$\dim(V) = \dim(W)+ \dim(W^\perp)$$

の関係が成り立つ．

例 3.196 (直交補空間の具体例)   $\mathbb{R}^3$ の部分空間

$$W=\left\{\left.\,{\vec{x}\in \mathbb{R}^3}\,\,\right\vert\,\,{x_{1}+x_{2}+x_{3}=0}\,\right\}$$

の直交補空間は

$$W^{\perp}= \left\{\left.\,{\alpha \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}}\,\,\right\vert\,\,{\alpha\in\mathbb{R}}\,\right\}$$

である．このとき，

$$W\oplus W^{\perp}=\mathbb{R}^3, \qquad \dim(W)+\dim(W^\perp)=2+1=\dim(\mathbb{R}^3)=3$$

が成り立つ．

例 3.197 (直交補空間の具体例)   $\mathbb{R}^3$ における部分空間

$$W= \left\{\left.\,{\begin{bmatrix}c_1 \\ c_2 \\ 0 \end{bmatrix}}\,\,\right\vert\,\,{c_1,c_2\in\mathbb{R}}\,\right\}$$

の直交補空間 $W^\perp$ は

$$W^{\perp}= \left\{\left.\,{\begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ c_3 \end{bmatrix}}\,\,\right\vert\,\,{c_3\in\mathbb{R}}\,\right\}$$

である． なぜなら， 任意のベクトル $\vec{u}\in W$, $\vec{v}\in W^\perp$ に対して $\left({\vec{u}}\,,\,{\vec{v}}\right)=0$ が成り立つからである．

平成20年2月2日