6.30 コーシーの主値積分

例 6.155 (極限は多価となる計算例)   広義積分では極限 $a\to-\infty$, $b\to+\infty$ を独立に行う． いま，$a=-kb$ ($k>0$) と条件を課して極限をとることにする． つまり，定積分

$$I(a,b)= \int_{a}^{b}x\,dx= \left[\vrule height1.5em width0em dept... ...em\,{\frac{x^2}{2}}\,\right]_{a}^{b}= \frac{b^2-a^2}{2} = \frac{1}{2}(b-a)(b+a)$$

において $I(-kb,b)$ とおき， $b\to+\infty$ の極限をとる． 積分は

$$I= \int_{-\infty}^{\infty}x\,dx= \lim_{b\to+\infty}I(-kb,b)= \lim_{b\to+\infty} \frac{1-k^2}{2}b^2= \frac{1-k^2}{2} \lim_{b\to+\infty} b^2$$

となる． (i) $k=1$ のとき積分は $I=0$ と有限確定する． (ii) $0<k<1$ のとき積分は $I=+\infty$ と無限確定する． (iii) $k>1$ のとき積分は $I=-\infty$ と無限確定する． このように極限の取方により積分は様々な値をとる． 広義積分では極限の取り方によらず，値が一定のときのみ収束したとみなす． この積分の場合は多価となるので，広義積分の意味では発散である．

定義 6.156 (コーシーの主値積分)   関数 $f(x)$ が $x=c$ $(a<c<b)$ で不連続で， 有限区間 $[a,b]$ で連続なとき，

$$\int_{a}^{b}f(x)\,dx= \lim_{\epsilon\to+0} \left(\int_{a}^{c-\epsilon}f(x)\,dx+ \int_{c+\epsilon}^{b}f(x)\,dx\right)$$

を$c$ におけるコーシーの主値積分（Cauchy's principal values of integral）という． また関数 $f(x)$ が無限区間 $(-\infty,\infty)$ で連続なとき，

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx= \lim_{a\to\infty} \left(\int_{-a}^{a}f(x)\,dx\right)$$

を$\infty$ におけるコーシーの主値積分という． 主値積分はまた

$$\mathrm{P}\int_{a}^{b}f(x)\,dx$$

とも表記する．

例 6.157 (広義積分での計算例)  

$$\int_{-\infty}^{\infty}x\,dx= \lim_{a\to-\infty}\lim_{b\to+\infty... ...2}{2}}\,\right]_{a}^{b}= \lim_{a\to-\infty}\lim_{b\to+\infty} \frac{b^2-a^2}{2}$$

$$= \lim_{b\to+\infty}\frac{b^2}{2} - \lim_{a\to-\infty}\frac{a^2}{2} = \infty-\infty: .$$

例 6.158 (コーシーの主値積分での計算例)  

$$\int_{-\infty}^{\infty}x\,dx= \lim_{a\to\infty} \int_{-a}^{a}x\,d... ....1em\,{\frac{x^2}{2}}\,\right]_{-a}^{a}= \lim_{a\to\infty} \frac{a^2-a^2}{2}=0. \cdots$$

例 6.159 (広義積分での計算例)  

$$\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x}= \lim_{\varepsilon_{1}\to+0} \lim_{\var... ...}+ \lim_{\varepsilon_{2}\to+0} \Big[\log\vert x\vert\Big]_{\varepsilon_{2}}^{1}$$

$$= \lim_{\varepsilon_{1}\to+0} \left(\log\varepsilon_{1}-\log 1\ri... ...on_{1}\to+0}\log\varepsilon_{1}- \lim_{\varepsilon_{2}\to+0}\log\varepsilon_{2}$$

$$= -\infty+\infty .$$

例 6.160 (コーシーの主値積分での計算例)  

$$\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x}= \lim_{\varepsilon\to+0} \left(\int_{-1... ...t x\vert\Big]_{-1}^{-\varepsilon}+ \Big[\log\vert x\vert\Big]_{\varepsilon}^{1}$$

$$= \lim_{\varepsilon\to+0} \left( \log\varepsilon-\log1+\log1-\log... ...ght)= \lim_{\varepsilon\to+0} \left(\log\varepsilon-\log\varepsilon\right)=0\,. \cdots$$

例 6.161 (広義積分での計算例)  

$$\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^2}= \lim_{\varepsilon_{1}\to+0} \lim_{\v... ... height1.5em width0em depth0.1em\,{-\frac{1}{x}}\,\right]_{\varepsilon_{2}}^{1}$$

$$= \lim_{\varepsilon_{1}\to+0} \left(\frac{1}{\varepsilon_{1}}-1\r... ...\frac{1}{\varepsilon_{1}}+ \lim_{\varepsilon_{2}\to+0}\frac{1}{\varepsilon_{2}}$$

$$= -2+\infty+\infty= +\infty .$$

例 6.162 (コーシーの主値積分での計算例)  

$$\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^2}= \lim_{\varepsilon\to+0} \left(\int_{... ...ight1.5em width0em depth0.1em\,{-\frac{1}{x}}\,\right]_{\varepsilon}^{1}\right)$$

$$= \lim_{\varepsilon\to+0} \left( \frac{1}{\epsilon}-1-1+\frac{1}{... ...n} \right)= -2+ \lim_{\varepsilon\to+0}\frac{2}{\epsilon}= -2+\infty=+\infty\,. \cdots$$

例 6.163 (広義積分での計算例)  

$$\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{\vert x\vert}}= \lim_{\varepsilon_{1... ...ule height1.5em width0em depth0.1em\,{2\sqrt{x}}\,\right]_{\varepsilon_{2}}^{1}$$

$$= \lim_{\varepsilon_{1}\to+0} \left(-2\sqrt{\epsilon_1}+2\right)+... ...to+0}\sqrt{\varepsilon_{1}} -2\lim_{\varepsilon_{2}\to+0}\sqrt{\varepsilon_{2}}$$

$$= 4-0-0=4 .$$

例 6.164 (コーシーの主値積分での計算例)  

$$\int_{-1}^{1}\frac{dx}{\sqrt{\vert x\vert}}= \lim_{\varepsilon\to... ... height1.5em width0em depth0.1em\,{2\sqrt{x}}\,\right]_{\varepsilon}^{1}\right)$$

$$= \lim_{\varepsilon\to+0} \left( -2\sqrt{\epsilon}+2+2-2\sqrt{\epsilon} \right)= 4-4 \lim_{\varepsilon\to+0}\sqrt{\epsilon}= 4+0=4\,. \cdots$$

例 6.165 (無限区間での広義積分の具体例)  

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^2+1}= \lim_{a\to-\infty} \lim... ...2+1}= \lim_{a\to-\infty} \lim_{b\to\infty} \Big[\mathrm{Tan}^{-1}x\Big]_{a}^{b}$$

$$= \lim_{a\to-\infty} \lim_{b\to\infty} \left(\mathrm{Tan}^{-1}(b)... ...b\to\infty}\mathrm{Tan}^{-1}(b)- \lim_{a\to-\infty}\mathrm{Tan}^{-1}(a) =\pi\,.$$

例 6.166 (コーシーの主値積分の計算例)  

$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2} = \lim_{a\to+\infty} \in... ...t[\vrule height1.5em width0em depth0.1em\,{\mathrm{Tan}^{-1}x}\,\right]_{0}^{a}$$

$$= \lim_{a\to+\infty}2\mathrm{Tan}^{-1}(a) = \pi.$$

平成21年6月1日