3.3 導関数の計算

定理 3.9 (微分演算に関する性質)   関数 $f=f(x)$, $g=g(x)$ が微分可能なとき， 次の関係が成り立つ：

(1)

（和の微分） $(f+g)'=f'+g'$.

(2)

（微分の線形性） $(\alpha\,f+\beta\,g)'=\alpha\,f'+\beta\,g'$    ($\alpha$, $\beta$：定数).

(3)

（積の微分） $(fg)'=f'g+fg'$.

(4)

（商の微分） $${\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}}$$     ($g(x)\neq0$).

(5)

（合成関数の微分） $y=f(g(x))$ のとき $y=f(z)$, $z=g(x)$ とおけば

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\frac{dz}{dx}= f'(z)\frac{dz}{dx}=f'(g(x))g'(x)\,.$$

この演算規則をチェインルール（chain rule）と呼ぶ．

(6)

（逆関数の微分） $y=f(x)$, $x=f^{-1}(y)$ のとき

$$\frac{dx}{dy}= \frac{1}{\quad\displaystyle{\frac{dy}{dx}}\quad}\,,\qquad \frac{d}{dy}f^{-1}(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}\,.$$

問 3.10   微分演算に関する性質を示せ．

（証明）(1) $F(x)=f(x)+g(x)$ とおく． 定義に従い計算すると

$$(f+g)' = \lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}\nonumber$$

$$=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} + \lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=f'(x)+g'(x)$$

を得る．

(2) $F(x)=\alpha\,f(x)+\beta\,g(x)$ とおく． 定義に従い計算すると

$$(f+g)' = \lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}= \lim_{h\to0} \frac{\alpha\,f(x+h)+\beta\,g(x+h)-\alpha\,f(x)-\beta\,g(x)}{h}\nonumber$$

$$=\alpha\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} + \beta\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\alpha\,f'(x)+\beta\,g'(x)$$

を得る．

(3) $F(x)=f(x)g(x)$ とおく．定義に従い計算すると

$$(fg)' = \lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\nonumber$$

$$= \lim_{h\to0}\frac{(f(x+h)-f(x))g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\nonumber$$

$$= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+ \lim_{h\to0}f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\nonumber$$

$$= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\times\lim_{h\to0}g(x+h)+ f(x)\times\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$$

$$=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$

を得る．

(4) $F(x)=f(x)/g(x)$ とおく．定義に従い計算すると，

$$\left(\frac{f}{g}\right)' = \lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)/g(x+h)-f(x)/g(x)}{h}$$

$$= \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{h\,g(x+h)g(x)}$$

$$= \lim_{h\to0}\frac{(f(x+h)-f(x))g(x)-f(x)(g(x+h)-g(x))}{h\,g(x+h)g(x)}$$

$$= \lim_{h\to0} \frac{\displaystyle{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x)-f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}} {g(x+h)g(x)}$$

$$= \frac{\displaystyle{\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x)- f(x)\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}} {\displaystyle{\lim_{h\to0}g(x+h)g(x)}}$$

$$=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$$

を得る．

(5) $F(x)=f(g(x))$ とおく．定義に従い計算すると

$$(f(g(x)))' = \lim_{h\to0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}= \lim_{h\to0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}\nonumber$$

$$= \lim_{h\to0}\frac{f(g(x)+g(x+h)-g(x))-f(g(x))}{h}\nonumber$$

$$= \lim_{h\to0}\frac{f(g(x)+g(x+h)-g(x))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)} \frac{g(x+h)-g(x)}{h}$$

を得る． ここで $\tilde{h}=g(x+h)-g(x)$ とおくと，

$$(f(g(x)))' = \lim_{h\to0}\frac{f(g+\tilde{h})-f(g)}{\tilde{h}} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \nonumber$$

$$= \lim_{h\to0}\frac{f(g+\tilde{h})-f(g)}{\tilde{h}} \times \lim_{h\to0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h}$$

となる．ここで

$$\lim_{h\to0}\tilde{h} = \lim_{h\to0}(g(x+h)-g(x))= \lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\times h\nonumber$$

$$= \lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\times \lim_{h\to0} h\nonumber$$

$$=g'(x)\times0=0$$

が成り立つ．よって $h\to0$ のとき $\tilde{h}\to0$ である． 以上より

$$(f(g(x)))' = \lim_{\tilde{h}\to0}\frac{f(g+\tilde{h})-f(g)}{\tilde{h}} \times \lim_{h\to0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h}= f'(g(x))g'(x)\,.$$

を得る．

(6) $y=f(x)$, $x=f^{-1}(y)$ より

$$y =f(x)=f(f^{-1}(y))$$

となる． $y=f(f^{-1}(y))$ の両辺は $y$ に関する関数である． 両辺を $y$ で微分すると

$$\frac{d}{dy}y =f'(f^{-1}(y))\frac{df^{-1}(y)}{dy}$$

$$1 =f'(x)\frac{dx}{dy}$$

$$1 =\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dy}$$

を得る．よって

$$\frac{dx}{dy}= \frac{d}{dx}f^{-1}(y)= \frac{1}{\quad\displaystyle{\frac{dy}{dx}}\quad}= \frac{1}{f'(x)}= \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$$

となる．

平成21年6月1日