2.4 演習問題 〜 関数，極限，連続

問 2.20 (2 変数関数)   関数 $f(x,y)=x^3-2x^2y+3y^2$ に対して次の値を求めよ．
    (1)  $f(0,1)$     (2)  $f(1,1)$     (3)  $f(2,0)$     (4)  $f(1,-1)$

問 2.21 (2 変数関数)   次の関数 $f(x,y)$ のグラフ $z=f(x,y)$ を描け． （ヒント：平面 $x=0,\pm1,\pm2,\cdots$, $y=0,\pm1,\pm2,\cdots$ による切口の図形を考える．）
    (1)   $f(x,y)=x^2+y^2$     (2)   $f(x,y)=x^3+y^2$

問 2.22 (2 変数関数)   次の関数 $f(x,y)$ のグラフ $z=f(x,y)$ の $xz$ 平面， $yz$ 平面による切口の図形を描け．
    (1)   $${f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}}$$     (2)   $${f(x,y)=\frac{x+y^3}{x^2+y^2}}$$

問 2.23 (極限)   次の極限を求めよ．
    (1)   $${\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2}{x^2+y^2}}$$     (2)   $${\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x+y)}{x+y}}$$     (3)   $${\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}}$$     (4)   $${\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}}$$
    (5)   $${\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{2x^3-y^3+x^2+y^2}{x^2+y^2}}$$     (6)   $${\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x+y+1}{x^2+y^2+1}}$$     (7)   $${\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2+2y^2}{2x^2+y^2}}$$
    (8)   $${\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-2y^2}{x^2+y^2}}$$     (9)   $${\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}}$$     (10)   $${\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}}$$     (11)   $${\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3+x^2y}{2x^2+y^2}}$$
    (12)   $${\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy^2}{x^2+y^4}}$$     (13)   $${\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}}$$     (14)   $${\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x\sqrt{\vert y\vert}}{\sqrt{x^2+y^2}}}$$

問 2.24 (連続)   次の関数 $f(x,y)$ が原点で連続となるか議論せよ． ただし $f(0,0)$ は適当に定義せよ．
    (1)   $${\frac{x^2}{x^2+y^2}}$$     (2)   $${\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}}$$     (3)   $${\frac{xy}{x^2+y^2}}$$     (4)   $${\frac{\sin(x+y)}{x+y}}$$     (5)   $${\frac{x^4-3x^2y^2}{2x^2+y^2}}$$     (6)  $x^2+y$
    (7)   $${\frac{x+y}{x^2+y^2}}$$     (8)   $${\frac{x^2+y^2}{x^2+2y^2}}$$     (9)   $${\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}}$$     (10)   $${\frac{x^4+x^2+y^2+y^3}{x^2+y^2}}$$     (11)   $${\frac{x^2y^2}{x^4+y^4}}$$     (12)   $${\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}$$
    (13)   $${(x+y)\cos\frac{y}{x}}$$     (14)   $${\frac{e^{x^2+y^2}-1}{x^2+y^2}}$$     (15)   $${xy\log(x^2+y^2)}$$

平成21年1月14日