2.7 内積

定義 2.12 (内積) $\mathbb{R}^{n}\ni\vec{a}= \begin{bmatrix}{a_{1}}\\ [-.5ex]{a_{2}}\\ [-.5ex]{\vdots}\\ [-.5ex]{a_{n}}\end{bmatrix}$ , $\vec{b}= \begin{bmatrix}{b_{1}}\\ [-.5ex]{b_{2}}\\ [-.5ex]{\vdots}\\ [-.5ex]{b_{n}}\end{bmatrix}$ に対して

$\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}= (\vec{a},\vec{b})= \sum_{k}^{n}a_{k}b_{k}= a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n}= {\vec{a}}^{T}\vec{b}$

(36)

なる二項演算を内積（inner product）または スカラー積（scalar product）という．

例 2.13 (内積の具体例) ベクトル

$\displaystyle \vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^{3}$

(37)

の内積は

$\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}= a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}= 1\times2+1\times(-1)+1\times1=2$

(38)

である．