2.8 ノルム

定義 2.14 (ノルム) ベクトル $\vec{a}\in\mathbb{R}^{n}$ に対して，

$\displaystyle \Vert\vec{a}\Vert=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}= \sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_{k}^2}$

(39)

をベクトル $\vec{a}$ のノルム（norm）または 長さ（length）という．

例 2.15 (ノルムの具体例) ベクトル

$\displaystyle \vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^{3}$

(40)

のノルムはそれぞれ

$\displaystyle \Vert\vec{a}\Vert$	$\displaystyle = \sqrt{\sum_{k=1}^{3}a_{k}^2}= \sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}\,,$	(41)
$\displaystyle \Vert\vec{b}\Vert$	$\displaystyle = \sqrt{\sum_{k=1}^{3}b_{k}^2}= \sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{6}$	(42)

である．