2.9 ベクトルの成す角

定義 2.16 (ベクトルの成す角) $\mathbb{R}^{n}\ni\vec{a},\vec{b}$ に対して

$\displaystyle \cos\theta= \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert}$

(43)

により得られる $\theta$ をベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ との成す角（angular）という． $\cos\theta$ を方向余弦（direction cosine）という．

例 2.17 (成す角の具体例) 2 つのベクトル

$\displaystyle \vec{a}= \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}\,,\quad \vec{b}= \begin{bmatrix}2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}\quad \in\mathbb{R}^{3}$

(44)

を考える．このとき方向余弦は

$\displaystyle \cos\theta= \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert}= \frac{2}{\sqrt{3}\sqrt{6}}= \frac{\sqrt{2}}{3}$

(45)

となるので，成す角は

$\displaystyle \theta= \arccos\frac{\sqrt{2}}{3}\simeq 0.34\pi\simeq 62^{\circ}$

(46)

である．