2.20 外積を用いて平面の法線ベクトルを導出

例 2.49 ( $\mathbb{R}^3$ の平面の方程式の具体例)   3 点 $A(1,1,-2)$, $B(3,0,1)$, $C(2,1,-1)$ を通る $xyz$ 空間内の平面を考える． 法線ベクトルは

$$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}= \begin{bma... ...1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} \vec{e}_3 = \begin{bmatrix}-1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

であり，点 $A(1,1,-2)$ を通るので， $\vec{n}\cdot(\vec{x}-\overrightarrow{OA})=0$ より 平面の方程式

$$-(x-1)+(y-1)+(z+2)=0$$

を得る．一般形で書けば

$$x-y-z-2=0$$

となる．さらに変形して

$$\frac{x}{2}+ \frac{x}{-2}+ \frac{x}{-2}=1$$

とする． 平面と $x$ 軸，$y$ 軸，$z$ 軸の交点はそれぞれ $x=2$, $y=-2$, $z=-2$ である．

平成20年4月22日