2.19 平面の方程式

定理 2.46 (平面の方程式)   $ \mathbb{R}^n$ 空間内の超平面上の点 $ X$ の位置ベクトルは

$\displaystyle \vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{x}_0)=0\,,\qquad \vec{x},\vec{x}_0,\vec{n}\in\mathbb{R}^{n}$ (83)

と表される. ただし,$ \vec{n}$ は方向ベクトル $ \vec{u}_1$, $ \cdots$, $ \vec{u}_n$ と 直交するベクトルである. $ \vec{n}$法線ベクトル(normal vector)という.

注意 2.47 ( $ \mathbb{R}^3$ の平面の方程式)   $ \mathbb{R}^3$ 内の平面の方程式は次のように表される. まず,基本は

$\displaystyle ax+by+cz+d=0$ (84)

である. このとき,法線ベクトルは $ \vec{n}=\begin{bmatrix}{a}\\ [-.5ex]{b}\\ [-.5ex]{c}\end{bmatrix}$ である. また,この式を変形して

$\displaystyle a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ (85)

と表す.このとき, 法線ベクトルは $ \vec{n}=\begin{bmatrix}{a}\\ [-.5ex]{b}\\ [-.5ex]{c}\end{bmatrix}$ であり, 平面は点 $ (x_0,y_0,z_0)$ を通る. さらに変形して,

$\displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ (86)

とする.このとき平面と $ x$ 軸,$ y$ 軸,$ z$ 軸との 交点はそれぞれ $ x=a$, $ y=b$, $ z=c$ となる.

2.48 ( $ \mathbb{R}^3$ の平面の方程式の具体例)   $ \mathbb{R}^3$ 内の平面の方程式

$\displaystyle x-2y+3z+4=0$ (87)

を考える. 法線ベクトルは $ \vec{n}=\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{-2}\\ [-.5ex]{3}\end{bmatrix}$ である. また,方程式を変形して

$\displaystyle \frac{x}{-4}+ \frac{y}{2}+ \frac{z}{-\frac{4}{3}}=1$ (88)

を得る. 平面は点 $ (-4,0,0)$, $ (0,2,0)$, $ (0,0,-4/3)$ を通る.


平成20年4月22日