2.27 演習問題 〜 内積,ノルム,外積

2.74 (内積,ノルム,外積)   $ \mathbb{R}^3$ のベクトルに対して, 次の関係式が成り立つこと証明せよ.
    (1)   $ (\vec{a}\cdot\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot(\vec{b}\cdot\vec{c})$     (2)   $ (\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=
\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}$     (3)   $ (\alpha\vec{a})\cdot\vec{b}=\alpha(\vec{a}\cdot\vec{b})$     (4)   $ \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$
    (5)   $ \vec{a}\neq\vec{0}$ のとき $ \vec{a}\cdot\vec{a}>0$     (6)   $ \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$     (7)   $ \vec{a}\cdot\vec{a}=\Vert\vec{a}\Vert^2$     (8)   $ \vec{a}\perp\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec{b}=0$
    (9)   $ \vert\vec{a}\cdot\vec{b}\vert\leq\Vert\vec{a}\Vert\,\Vert\vec{b}\Vert$     (10)   $ \Vert\vec{a}+\vec{b}\Vert\leq\Vert\vec{a}\Vert+\Vert\vec{b}\Vert$     (11)   $ \displaystyle{-1\leq\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert}\leq1}$
    (12)   $ \Vert\vec{a}-\vec{b}\Vert^2+\Vert\vec{a}+\vec{b}\Vert^2=2(\Vert\vec{a}\Vert^2+\Vert\vec{b}\Vert^2)$     (13)   $ (\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})=\Vert\vec{a}\Vert^2-\Vert\vec{b}\Vert^2$
    (14)   $ \Vert\vec{a}\pm\vec{b}\Vert^2=\Vert\vec{a}\Vert^2+\Vert\vec{b}\Vert^2\pm 2\vec{a}\cdot\vec{b}$     (15)   $ \displaystyle{\left\Vert\frac{\vec{a}}{\Vert\vec{a}\Vert^2}\pm\frac{\vec{b}}{\...
...2=\frac{\Vert\vec{a}\pm\vec{b}\Vert^2}{\Vert\vec{a}\Vert^2\Vert\vec{b}\Vert^2}}$
    (16)   $ \vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$     (17)   $ \vec{a}\times\vec{a}=\vec{0}$     (18)   $ \vec{a}\parallel\vec{b}\Leftrightarrow\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}$     (19)   $ (\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}=\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})$
    (20)   $ \vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}$     (21)   $ (\vec{a}+\vec{b})\times\vec{c}=\vec{a}\times\vec{c}+\vec{b}\times\vec{c}$
    (22)   $ (\alpha\vec{a})\times\vec{b}=\alpha(\vec{a}\times\vec{b})=\vec{a}\times(\alpha\vec{b})$     (23)   $ (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}=0$     (24)   $ (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b}=0$
    (25)   $ (\vec{a}-\vec{b})\times(\vec{a}+\vec{b})=2(\vec{a}\times\vec{b})$     (26)   $ (\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}=(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{b}\cdot\vec{c})\vec{a}$
    (27)   $ \vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}$     (28)   $ (\vec{a}\times\vec{b})\times\vec{c}+(\vec{b}\times\vec{c})\times\vec{a}+(\vec{c}\times\vec{a})\times\vec{b}=0$
    (29)   $ (\vec{a}\times\vec{b})\cdot(\vec{c}\times\vec{d})=(\vec{a}\cdot\vec{c})(\vec{b}\cdot\vec{d})-(\vec{a}\cdot\vec{d})(\vec{b}\cdot\vec{c})$     (30)   $ (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{c}\times\vec{a})\cdot\vec{b}$
    (31)   $ \displaystyle{\vec{a}\cdot(\vec{b}\times(\vec{c}\times\vec{d}))=(\vec{a}\times...
...}\cdot\vec{c} \\ [-.3ex]\vec{a}\cdot\vec{d} &\vec{b}\cdot\vec{d} \end{vmatrix}}$
    (32)   $ (\vec{a}\times\vec{b})\times(\vec{c}\times\vec{d})=[\vec{a},\vec{b},\vec{d}]\vec{c}-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]\vec{d}$     (33)   $ [\vec{a}\times\vec{b},\vec{b}\times\vec{c},\vec{c}\times\vec{a}]=[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]^2$
    (34)   $ [\vec{a}\times\vec{b},\vec{c}\times\vec{d},\vec{e}\times\vec{f}]=[\vec{a},\vec...
...d}][\vec{c},\vec{e},\vec{f}]-[\vec{a},\vec{b},\vec{c}][\vec{d},\vec{e},\vec{f}]$
    (35)   $ \displaystyle{[\vec{a},\vec{b},\vec{c}][\vec{l},\vec{m},\vec{n}]=\begin{vmatri...
... \vec{c}\cdot\vec{l} & \vec{c}\cdot\vec{m} & \vec{c}\cdot\vec{n} \end{vmatrix}}$

2.75 (内積)   次の 2 つのベクトルのノルムをそれぞれ求めよ.またこれらの内積,方向余弦,成す角を求めよ.
    (1)   $ \begin{bmatrix}{-\sqrt{3}}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$, $ \begin{bmatrix}{3}\\ [-.5ex]{\sqrt{3}}\end{bmatrix}$     (2)   $ \begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{2}\end{bmatrix}$, $ \begin{bmatrix}{-2}\\ [-.5ex]{3}\end{bmatrix}$     (3)   $ \begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{2}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$, $ \begin{bmatrix}{-2}\\ [-.5ex]{-1}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$     (4)   $ \begin{bmatrix}{0}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}$, $ \begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{0}\\ [-.5ex]{-2}\end{bmatrix}$
    (5)   $ \begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{-1}\\ [-.5ex]{0}\\ [-.5ex]{2}\end{bmatrix}$, $ \begin{bmatrix}{2}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{3}\\ [-.5ex]{0}\end{bmatrix}$     (6)   $ \begin{bmatrix}{-1}\\ [-.5ex]{2}\\ [-.5ex]{3}\\ [-.5ex]{0}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$, $ \begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{-1}\\ [-.5ex]{2}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}$

2.76 (方向余弦)   $ \mathbb{R}^3$$ 3$$ O(0,0,0)$, $ A(1,-2,2)$, $ B(3,4,0)$ に対して, 方向余弦 $ \cos\angle AOB$ を求めよ. また, $ \triangle OAB$ の面積を求めよ.

2.77 (直交)   次のベクトルに直交するベクトルを $ 1$ つ求めよ.
    (1)   $ \begin{bmatrix}{2}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}$     (2)   $ \begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{0}\end{bmatrix}$, $ \begin{bmatrix}{0}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$     (3)   $ \begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{-2}\\ [-.5ex]{3}\end{bmatrix}$     (4)   $ \begin{bmatrix}{-1}\\ [-.5ex]{2}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}$     (5)   $ \begin{bmatrix}{2}\\ [-.5ex]{0}\\ [-.5ex]{-1}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{3}\end{bmatrix}$

2.78 (外積)   次のベクトルの外積を求めよ.
    (1)   $ \begin{bmatrix}{2}\\ [-.5ex]{-1}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{0}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$     (2)   $ \begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{2}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}{3}\\ [-.5ex]{2}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}$     (3)   $ \begin{bmatrix}{0}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{2}\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}{-1}\\ [-.5ex]{-1}\\ [-.5ex]{2}\end{bmatrix}$

2.79 (外積)   次の外積を計算せよ.
    (1)   $ (2\vec{e}_1-2\vec{e}_2+\vec{e}_3)\times (12\vec{e}_1-4\vec{e}_2-3\vec{e}_3)$     (2)   $ (-2\vec{e}_1+3\vec{e}_3)\times (-\vec{e}_1+2\vec{e}_2-\vec{e}_3)$
    (3)   $ (2\vec{e}_1-3\vec{e}_2+\vec{e}_3)\times (\vec{e}_1+\vec{e}_2+4\vec{e}_3)$
ただし, $ \mathbb{R}^3$ の基本ベクトルを $ \vec{e}_1=\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{0}\\ [-.5ex]{0}\end{bmatrix}$, $ \vec{e}_2=\begin{bmatrix}{0}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{0}\end{bmatrix}$, $ \vec{e}_3=\begin{bmatrix}{0}\\ [-.5ex]{0}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$ とする.

2.80 (外積)   ベクトル $ \vec{a}=3\vec{e}_1-\vec{e}_2+2\vec{e}_3$, $ \vec{b}=2\vec{e}_1-\vec{e}_3$, $ \vec{c}=-2\vec{e}_1+\vec{e}_2-\vec{e}_3$ に対して次を求めよ.
    (1)   $ \vec{a}\times\vec{a}$     (2)   $ \vec{a}\times\vec{b}$     (3)   $ \vec{b}\times\vec{a}$     (4)   $ \vec{a}\times\vec{c}$     (5)   $ \vec{b}\times\vec{c}$     (6)   $ \vec{a}\times(\vec{b}+\vec{c})$     (7)   $ (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}$
    (8)   $ (\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}$     (9)   $ \vec{a}\times\vec{b}\times\vec{c}$     (10)   $ \vec{b}\times\vec{c}\times\vec{a}$     (11)   $ \vec{a}\times\vec{c}\times\vec{a}$

2.81 (右手系)   ベクトル $ \vec{c}$ はベクトル $ \vec{a}$, $ \vec{b}$ に垂直なベクトルであり, かつ $ \vec{a}$, $ \vec{b}$, $ \vec{c}$ はこの順序で右手系をなすとする. $ \vec{c}$ を求めよ.
    (1)   $ \vec{a}=4\vec{e}_1+3\vec{e}_2-\vec{e}_3$, $ \vec{b}=2\vec{e}_1-6\vec{e}_2-3\vec{e}_3$     (2)   $ \vec{a}=\vec{e}_1+2\vec{e}_2-3\vec{e}_3$, $ \vec{b}=-3\vec{e}_1+\vec{e}_2+2\vec{e}_3$
    (3)   $ \vec{a}=\vec{e}_1-2\vec{e}_2+\vec{e}_3$, $ \vec{b}=3\vec{e}_1+\vec{e}_2-2\vec{e}_3$

2.82 (右手系)   ベクトル $ \vec{a}$, $ \vec{b}$, $ \vec{c}$ は この順で右手系であり,お互いに直交するとする. $ \vec{c}$ を求めよ.
    (1)   $ \vec{a}=\begin{bmatrix}{-1}\\ [-.5ex]{-1}\\ [-.5ex]{2}\end{bmatrix}$, $ \vec{b}=\begin{bmatrix}{3}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{2}\end{bmatrix}$     (2)   $ \vec{a}=\begin{bmatrix}{-1}\\ [-.5ex]{2}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}$, $ \vec{b}=\begin{bmatrix}{1}\\ [-.5ex]{0}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}$     (3)   $ \vec{a}=\begin{bmatrix}{2}\\ [-.5ex]{3}\\ [-.5ex]{-1}\end{bmatrix}$, $ \vec{b}=\begin{bmatrix}{-1}\\ [-.5ex]{1}\\ [-.5ex]{1}\end{bmatrix}$

2.83 (平行四辺形の面積)   次の $ \mathbb{R}^2$ の 4 点からなる平行四辺形の面積を求めよ.
    (1)  $ (0,0)$, $ (1,3)$, $ (3,4)$, $ (2,1)$     (2)  $ (0,0)$, $ (-3,1)$, $ (-1,3)$, $ (2,2)$
    (3)  $ (-2,0)$, $ (0,2)$, $ (3,0)$, $ (1,-2)$

2.84 (平行四辺形の面積)   次の $ \mathbb{R}^3$ の 4 点からなる平行四辺形の面積を求めよ.
    (1)  $ (0,0,0)$, $ (0,1,0)$, $ (1,1,0)$, $ (1,2,0)$     (2)  $ (4,-2,6)$, $ (6,-1,7)$, $ (5,0,5)$, $ (3,3,0)$
    (3)  $ (1,2,3)$, $ (2,-1,1)$, $ (1,2,-4)$, $ (1,-3,-9)$

2.85 (平行六面体の体積)   次の $ \mathbb{R}^3$ の 8 点からなる平行六面体の体積を求めよ.
    (1)  $ (0,0,0)$, $ (0,1,0)$, $ (1,1,0)$, $ (1,2,0)$, $ (1,0,1)$, $ (1,1,1)$, $ (2,1,1)$, $ (2,2,1)$
    (2)  $ (1,2,3)$, $ (2,-1,1)$, $ (1,2,-4)$, $ (1,-3,-9)$, $ (0,3,2)$, $ (1,0,0)$, $ (0,3,-5)$, $ (0,-2,-10)$


平成20年4月22日