1.4 演習 〜 複素数

問 1.20 (複素数)   次の数のうち複素数，実数，虚数，純虚数はどれか述べよ．

    (1)   $i$     (2)   $1$     (3)   $1+i$     (4)   $-5i$     (5)   $-2+4i$     (6)   $3$     (7)   $(1-i)^{3}$     (8)   $(1-i)(1+i)$

問 1.21 (複素数)   絶対値が $2\sqrt{3}$ で偏角が $75^{\circ}$ の複素数を求めよ．

問 1.22 (複素数)   次の複素数を $z=x+iy$ と極形式 $z=re^{i\theta}$ の形で表し， 複素平面上にプロットせよ．

    (1)   $-1+i$     (2)   $\sqrt{3}+i$     (3)   $(3+\sqrt{3}i)/2$     (4)   $(-1+i)(2+i)$     (5)   $${\frac{3+4i}{3-4i}}$$     (6)   $${\frac{2-i}{3+5i}}$$     (7)   $${(1-i)^{-4}}$$     (8)   $${(1+i)^{5}-(1-i)^{5}}$$     (9)   $3+i+\overline{(-4+5i)}$     (10)   $(-1+i)\overline{(5-2i)}$     (11)   $${\frac{3+i}{5+\overline{(-1+i)}}}$$

問 1.23 (複素数)   $z=(-\sqrt{3}+i)/3$, $w=(\sqrt{3}+i)/6$ のとき $\vert z-w\vert$, $\arg(w-z)$ を求めよ．

問 1.24 (複素数)   $z=(3+\sqrt{3}i)/2$ のとき $z^{6}$ を求めよ．

問 1.25 (複素数)   複素数 $z=1+i$, $w=1-\sqrt{3}i$ のとき 次を計算せよ．

    (1)   $z+w$     (2)   $z-w$     (3)   $z w$     (4)   $w/z$     (5)   $\overline{z}$     (6)   $\overline{w}$     (7)   $\overline{z+w}$     (8)   $\overline{z-w}$     (9)   $\overline{z w}$     (10)   $z^{-1}$     (11)   $w^{-1}$     (12)   $\overline{w/z}$     (13)   $z\overline{z}$     (14)   $w\overline{w}$     (15)   $\vert z\vert$     (16)   $\vert w\vert$     (17)   $\vert zw\vert$     (18)   $${\left\vert w/z\right\vert}$$     (19)   $\vert\overline{z}\vert$     (20)   $\vert\overline{w}\vert$     (21)   $\vert\overline{zw}\vert$     (22)   $${\left\vert\overline{\left(w/z\right)}\right\vert}$$     (23)   $\vert z-w\vert$     (24)   $\arg z$     (25)   $\arg w$     (26)   $\arg zw$     (27)   $${\arg \frac{w}{z}}$$     (28)   $\arg \overline{z}$     (29)   $\arg \overline{w}$     (30)   $\arg \overline{zw}$     (31)   $${\arg\overline{\left(w/z\right)}}$$     (32)   $${\frac{z+\overline{z}}{2}}$$     (33)   $${\frac{w+\overline{w}}{2}}$$     (34)   $${\frac{z-\overline{z}}{2i}}$$     (35)   $${\frac{w-\overline{w}}{2i}}$$     (36)   $z^{2}$     (37)   $z^{3}$     (38)   $z^{4}$     (39)   $w^{2}$     (40)   $w^{3}$     (41)   $w^{4}$

問 1.26 (多項式の根)   次の多項式の根を複素平面上にプロットせよ．

    (1)   $z^{2}-2z+4=0$     (2)   $z^{2}+1=0$     (3)   $(z+1)(z^{2}+1)=0$     (4)   $z^{2}+z+1=0$     (5)   $z^{3}+1=0$     (6)   $z^{2}-2z-1=0$     (7)   $z^{2}-2z+3=0$     (8)   $z^{3}-z^{2}+z-1=0$

問 1.27 (べき乗の根)   $z^{n}=1$ $(n=1,2,\cdots)$ の根を複素平面上にプロットせよ．

問 1.28 (多項式の根)   次の方程式の根を求めよ．

    (1)   $z^{2}-2iz-2-i\sqrt{3}=0$     (2)   $z^{3}=2+2i$     (3)   $z^{5}=16+16\sqrt{3}i$

問 1.29 (多項式の根)   複素数 $\alpha\ne0$ に対して $z^{2}=\alpha$ となる 複素数 $z$ が 2 つだけ存在し， その一方が $\beta$ ならもう一方は $-\beta$ であることを示せ．

問 1.30 (べき乗の根)   次の複素数を計算せよ．

    (1)   $\sqrt{-i}$     (2)   $\sqrt{3+4i}$     (3)   $\sqrt[4]{16}$     (4)   $\sqrt[3]{-8i}$     (5)   $\sqrt[2]{1+i}$     (6)   $\sqrt[4]{2+2\sqrt{3}i}$

問 1.31 (カルダノの公式)   方程式

$$x^{3}+3px+2q=0$$ (15)

の根は

$$x=u+v,\quad u=\sqrt[3]{-q+\sqrt{\Delta}},\quad v=\sqrt[3]{-q-\sqrt{\Delta}},\quad \Delta=q^{2}+p^{3}$$ (16)

で与えられる． これを用いて

$$x^{3}-21x+20=0$$ (17)

の根が $1$, $4$, $-5$ であることを示せ．

平成20年4月22日