2.7 逆関数

定義 2.23 (逆関数)   $ y=f(x)$ を方程式とみなし, $ x$ について解いたとき $ x=g(y)$ が得られたとする. このとき $ g(y)$逆関数(inverse function) と呼び $ g(y)=f^{-1}(y)$ と書く. 変数の表し方が本質的でない場合は $ y$$ x$ を取り替えて $ f^{-1}(x)$ と書く.

注意 2.24 (逆関数)   逆関数の定義より明らかに

$\displaystyle f(f^{-1}(x))=x, \quad f^{-1}(f(x))=x$    

が成り立つ. これは $ f$ を写像と考えれば

$\displaystyle f\circ f^{-1}=\mathrm{id.}, \quad f^{-1}\circ f=\mathrm{id.},$    

と表される.

2.25 (逆関数の具体例)   関数

$\displaystyle y=f(x)=ax+b$    

の逆関数を考える. $ y=ax+b$ について解くと,$ x=(y-b)/a$ となるので, 逆関数は

$\displaystyle x=f^{-1}(y)=\frac{y-b}{a}$    

となる. $ y$$ x$ を入れ替えると

$\displaystyle y=f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a}$    

である.

2.26 (逆関数の具体例)   関数

$\displaystyle y=f(x)=x^2$    

の逆関数は

$\displaystyle y=f^{-1}(x)=\pm\sqrt{x}$    

である.

2.27 (逆関数の具体例)   関数 $ f(x)=e^x$ の逆関数は $ f^{-1}(x)=\log x$ であり, $ g(x)=\log x$ の逆関数は $ g^{-1}(x)=e^xx$ である.

2.28 (逆関数のグラフ)   関数 $ y=f(x)$ のグラフとその逆関数 $ y=f^{-1}(x)$ のグラフは, 直線 $ y=x$ に関して線対称である. これを示せ.


平成22年6月17日