2.7 逆関数

定義 2.23 (逆関数)   $y=f(x)$ を方程式とみなし， $x$ について解いたとき $x=g(y)$ が得られたとする． このとき $g(y)$ を逆関数（inverse function） と呼び $g(y)=f^{-1}(y)$ と書く． 変数の表し方が本質的でない場合は $y$ と $x$ を取り替えて $f^{-1}(x)$ と書く．

注意 2.24 (逆関数)   逆関数の定義より明らかに

$$f(f^{-1}(x))=x, \quad f^{-1}(f(x))=x$$

が成り立つ． これは $f$ を写像と考えれば

$$f\circ f^{-1}=\mathrm{id.}, \quad f^{-1}\circ f=\mathrm{id.},$$

と表される．

例 2.25 (逆関数の具体例)   関数

$$y=f(x)=ax+b$$

の逆関数を考える． $y=ax+b$ について解くと，$x=(y-b)/a$ となるので， 逆関数は

$$x=f^{-1}(y)=\frac{y-b}{a}$$

となる． $y$ と $x$ を入れ替えると

$$y=f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a}$$

である．

例 2.26 (逆関数の具体例)   関数

$$y=f(x)=x^2$$

の逆関数は

$$y=f^{-1}(x)=\pm\sqrt{x}$$

である．

例 2.27 (逆関数の具体例)   関数 $f(x)=e^x$ の逆関数は $f^{-1}(x)=\log x$ であり， $g(x)=\log x$ の逆関数は $g^{-1}(x)=e^xx$ である．

問 2.28 (逆関数のグラフ)   関数 $y=f(x)$ のグラフとその逆関数 $y=f^{-1}(x)$ のグラフは， 直線 $y=x$ に関して線対称である． これを示せ．

平成22年6月17日