2.20 逆三角関数

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2.20 逆三角関数

三角関数の逆関数を 逆三角関数（inverse trigonometric function）と呼び， $\sin x$ , $\cos x$ , $\tan x$ の逆関数をそれぞれ

$\displaystyle y$ $\displaystyle =\sin^{-1}x=\arcsin x\,\qquad (-1\le x\le1)$

$\displaystyle y$ $\displaystyle =\cos^{-1}x=\arccos x\,\qquad (-1\le x\le1)$

$\displaystyle y$ $\displaystyle =\tan^{-1}x=\arctan x\,\qquad (-\infty<x<\infty)$

と書き表す．読み方は上から sine inverse, cosine inverse, tangent inverse または arc sine, arc cosine, arc tangent である．逆三角関数は多価関数となる．任意のに対して無限個のが存在する．主値をとり一価関数とした逆三角関数を表すには特に

$\displaystyle y$ $\displaystyle =\mathrm{Sin}^{-1}x=\mathrm{Arcsin}\,x\, \qquad(-1\le x\le1) \qquad\left(-\frac{\pi}{2}\le y\le\frac{\pi}{2}\right)$

$\displaystyle y$ $\displaystyle =\mathrm{Cos}^{-1}x=\mathrm{Arccos}\,x\, \qquad(-1\le x\le1) \qquad(0\le y\le\pi)$

$\displaystyle y$ $\displaystyle =\mathrm{Tan}^{-1}x=\mathrm{Arctan}\,x\, \qquad(-\infty<x<\infty) \qquad\left(-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}\right)$

と書く．

問 2.60 (逆三角関数のグラフ) 逆三角関数の概形を書け．

例 2.61 (逆三角関数の値)

$\displaystyle \mathrm{Sin}^{-1}\frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}\,,$ $\displaystyle \mathrm{Sin}^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\pi}{4}\,,$ $\displaystyle \mathrm{Sin}^{-1}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{3}\,,$

$\displaystyle \mathrm{Cos}^{-1}\frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}\,,$ $\displaystyle \mathrm{Cos}^{-1}\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\pi}{4}\,,$ $\displaystyle \mathrm{Cos}^{-1}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{6}\,,$

$\displaystyle \mathrm{Sin}^{-1}(0)=0\,,$ $\displaystyle \mathrm{Cos}^{-1}(0)=\frac{\pi}{2}\,,$ $\displaystyle \mathrm{Cos}^{-1}(1)=0\,,$ $\displaystyle \mathrm{Sin}^{-1}(1)=\frac{\pi}{2}\,,$

$\displaystyle \mathrm{Tan}^{-1}(0)=0\,,$ $\displaystyle \mathrm{Tan}^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{6}\,,$ $\displaystyle \mathrm{Tan}^{-1}(1)=\frac{\pi}{4}\,,$ $\displaystyle \mathrm{Tan}^{-1}\sqrt{3}=\frac{\pi}{3}\,,$

$\displaystyle \mathrm{Sin}^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right)=\frac{-\pi}{6}\,,$ $\displaystyle \mathrm{Sin}^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{-\pi}{4}\,,$ $\displaystyle \mathrm{Sin}^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{-\pi}{3}\,,$ $\displaystyle \mathrm{Sin}^{-1}\left(-1\right)=\frac{-\pi}{2}\,,$

$\displaystyle \mathrm{Cos}^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right)=\frac{2\pi}{3}\,,$ $\displaystyle \mathrm{Cos}^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{3\pi}{4}\,,$ $\displaystyle \mathrm{Cos}^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{5\pi}{6}\,,$ $\displaystyle \mathrm{Cos}^{-1}\left(-1\right)=\pi\,,$

$\displaystyle \mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{-\pi}{6}\,,$ $\displaystyle \mathrm{Tan}^{-1}\left(-1\right)=\frac{-\pi}{4}\,,$ $\displaystyle \mathrm{Tan}^{-1}(-\sqrt{3})=\frac{-\pi}{3}\,.$

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平成22年6月17日