2.19 三角関数

単位円（半径 $1$ で中心が原点 $O$ にある円）$C$ と 原点 $O$ を通る直線 $L$ を用意する． 円 $C$ と直線 $L$ の交点を $P$ とする． 点 $P$ より $x$ 軸に下ろした垂線と $x$ 軸との交点を $Q$ とする． 点 $(1,0)$ を $Q'$ とし， $Q'$ を通り $y$ 軸に平行な直線と直線 $L$ との交点を $P'$ とする． $Q'$ から点 $P$ への円弧の（方向付き）長さを $x$ とする． このとき， 点 $P$ の座標を $(\cos x,\sin x)$ と定義し， 点 $P'$ の座標を $(1,\tan x)$ と定義する． この定義により得られる関数を 三角関数（trigonometric function）と呼ぶ． 読み方は $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$ の順に sine, cosine, tangent である．

三角関数のべき乗 $(\sin x)^n$ は $\sin^n x$ のように略記する． しかし $n=-1$ のときはこの表記は用いない． $\sin^{-1}x$ は逆三角関数を意味する． このとき表記は $(\sin x)^{-1}$ や $1/\sin x$ とするか 新たな記号

$$\mathrm{cosec}\,x =\frac{1}{\sin x}\,, \sec x =\frac{1}{\cos x}\,, \cot x =\frac{1}{\tan x}$$

を用いる．

定理 2.48 (三角関数は単位円上の点)  

$$\sin^2 x+\cos^2 x=1\,.$$

（証明） 単位円の半径の長さは $1$ なので $\overline{OP}^2=1$ より 導出される．

定理 2.49 (三角関数の偶奇)  

$$\sin(-x) =-\sin(x)\,,$$

$$\cos(-x) =\cos(x)\,,$$

$$\tan(-x) =-\tan(x)\,.$$

$\sin x$, $\tan x$ は奇関数であり， $\cos x$ は偶関数である．

定理 2.50 (三角関数の周期性)  

$$\sin(x+2\pi)=\sin(x)\,,$$

$$\cos(x+2\pi)=\cos(x)\,,$$

$$\tan(x+\pi)=\tan(x)\,.$$

$\sin x$, $\cos x$ は周期 $2\pi$ の周期関数であり， $\tan x$ は周期 $\pi$ の周期関数である．

定理 2.51 (三角関数の加法公式)   三角関数の加法公式：

$$\sin(x\pm y)=\sin x \cos y \pm \cos x \sin y\,,$$

$$\cos(x\pm y)=\cos x \cos y \mp \sin x \sin y\,,$$

$$\tan(x\pm y)=\frac{\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x \tan y}\,.$$

定理 2.52 (三角関数の性質)   三角関数どうしの互いの関係：

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\,,\quad \sin\left(\frac{\pi}{2}-x\ri... ...2}-x\right)=\sin x\,,\quad \tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{\tan x}\,.$$

問 2.53 (三角関数の性質)   これを示せ．

（答え） 加法公式から導出される．

定理 2.54 (三角関数の合成)  

$$a\,\sin x+b\,\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\,\sin(x+\theta)\,,\quad \theta=\mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)\,,$$

$$a\,\cos x+b\,\sin x=\sqrt{a^2+b^2}\,\cos(x-\theta)\,,\quad \theta=\mathrm{Tan}^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)\,.$$

問 2.55 (三角関数の合成)   これを示せ．

（答え） 加法公式から導出される．

問 2.56 (三角関数のグラフ)   三角関数の概形を書け．

例 2.57 (三角関数の値)  

$$\sin0=0\,, \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\,, \sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\,, \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,, \sin\frac{\pi}{2}=1\,, \sin\pi=0\,, \sin2\pi=0\,,$$

$$\cos0=1\,, \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,, \cos\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}\,, \cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\,, \cos\frac{\pi}{2}=0\,, \cos\pi=-1\,, \cos2\pi=1\,,$$

$$\tan0=0\,, \tan\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\,, \tan\frac{\pi}{4}=1\,, \tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\,, \tan\frac{\pi}{2}=\infty\,, \tan\pi=0\,, \tan2\pi=0\,.$$

問 2.58 ($n$ 倍角の公式)   $\cos 2x$, $\cos 3x$, $\cos 4x$, $\cdots$ を $\cos x$ の多項式で表せ．

（答え）

$$\cos 2x = 2\cos^2x-1\,,$$

$$\cos 3x = 4\cos^3x-3\cos x\,,$$

$$\cos 4x = 8\cos^4x-8\cos^2x+1\,.$$

問 2.59 ($n$ 倍角の公式)   $\cos^{2} x$, $\cos^{3} x$, $\cos^{4} x$, $\cdots$ を $\cos 2x$, $\cos 3x$, $\cos 4x$, $\cdots$ の 線形結合で表せ．

（答え）

$$\begin{bmatrix}1 \\ \cos x \\ \cos2x \\ \cos3x \\ \cos4x \end{bma... ...trix} \begin{bmatrix}1 \\ \cos x \\ \cos^2x \\ \cos^3x \\ \cos^4x \end{bmatrix}$$

より

$$\begin{bmatrix}1 \\ \cos x \\ \cos^2x \\ \cos^3x \\ \cos^4x \end{... ...bmatrix} \begin{bmatrix}1 \\ \cos x \\ \cos2x \\ \cos3x \\ \cos4x \end{bmatrix}$$

となるので

$$\cos^2x =\frac{1}{2}\cos2x+\frac{1}{2}\,,$$

$$\cos^3x =\frac{1}{4}\cos3x+\frac{3}{4}\cos x\,,$$

$$\cos^4x =\frac{1}{8}\cos4x+\frac{1}{2}\cos2x-\frac{1}{8}\,$$

を得る．

平成22年6月17日