2.29 有理式の極限の計算

例 2.106 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x-2}{x+1}= \lim_{x\to\infty}\frac{1-2/x}{1+1/x}= \frac{1-0}{1+0}=1\,.$$

例 2.107 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-2}{x+1}= \lim_{x\to\infty}\frac{x-2/x}{1+1/x}= \frac{\infty-0}{1+0}= \frac{\infty}{1}=\infty\,.$$

例 2.108 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+x+1}{x^5-x}= \lim_{x\to\infty}\frac{1/x^3+1/x^4+1/x^5}{1-1/x^4}= \frac{0+0+0}{1-0}=0\,.$$

例 2.109 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to\infty} \frac{x^2+3x+1}{x-5} = \lim_{x\to\infty} \frac{1+3/x+1/x^2}{1/x-5/x^2} = \frac{1+0+0}{0-0}= \frac{1}{0}=\infty\,.$$

例 2.110 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to\infty} \frac{x^2-x}{2x^2+3} = \lim_{x\to\infty} \frac{1-1/x}{2+3/x^2}= \frac{1-0}{2+0}= \frac{1}{2}\,.$$

例 2.111 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to\infty} \frac{x^2+2}{x^5-4x^2+1} = \lim_{x\to\infty} \frac{1+2/x^2}{x^3-4+1/x^2} = \frac{1+0}{\infty-4+0} = \frac{1}{\infty}=0\,.$$

例 2.112 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to0} \frac{x^3+2x}{x^5-3x^2} = \lim_{x\to0} \frac{x(x^2+2... ...\lim_{x\to0} \frac{x^2+2}{x(x^3-3)} = \frac{0+2}{0(0-3)}= \frac{2}{0}=\infty\,.$$

例 2.113 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to0} \frac{5x^4-x^3}{2x^3-x^2}= \lim_{x\to0} \frac{x^2(5x^2-x)}{x^2(2x-1)} = \lim_{x\to0} \frac{5x^2-x}{2x-1} = \frac{0-0}{0-1}=0\,.$$

例 2.114 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to1} \frac{x^2-1}{x^2+x-2} = \lim_{x\to1} \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+2)} = \lim_{x\to1} \frac{x+1}{x+2} = \frac{1+1}{1+2}= \frac{2}{3}\,.$$

例 2.115 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}= \lim_{x\to\infty}\frac{1+1/x}{\sqrt{1+1/x^2}}= \frac{1+0}{\sqrt{1+0}}=1\,.$$

平成22年6月17日