2.30 関数の収束の速さを比較して極限の計算

例 2.116 (関数の極限の計算例)   $x\to+\infty$ のとき $e^{x}>>x$ より

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}}{x}=+\infty\,, \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^{x}}=0\,.$$

例 2.117 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to\infty} \frac{2x-1+e^{x}}{x^3-5x+1} = \lim_{x\to\infty} \frac{2x-1}{x^3-5x+1} + \lim_{x\to\infty} \frac{e^{x}}{x^3-5x+1}$$

$$= \lim_{x\to\infty} \frac{2/x^2-1/x^3}{1-5/x^2+1/x^3} + \lim_{x\to\infty} \frac{e^{x}}{x^3-5x+1} e^x>>x^3$$

$$= \frac{0+0}{1-0+0}+\infty=0+\infty=\infty\,.$$

例 2.118 (関数の極限の計算例)   $x\to\infty$ のとき $x>>\log x$ より

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{\log x}{x}=0\,.$$

例 2.119 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to\infty} \frac{-5x+1}{2x-1+\log x} = \lim_{x\to\infty} \frac{-5+\frac{1}{x}}{2-\frac{1}{x}+\frac{\log x}{x}} x>>\log x$$

$$= \frac{-5+0}{2-0+0}=-\frac{5}{2}\,.$$

例 2.120 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to\infty} \frac{2x-1+e^{x}}{2x-1+\log x}= \lim_{x\to\infty} \frac{2-1/x+e^{x}/x}{2-1/x+(\log x)/x} e^x>>x>>\log x$$

$$= \frac{2-0+\infty}{2-0+0}= \frac{\infty}{2}=\infty\,.$$

平成22年6月17日