2.33 変数をおきかえて極限の計算

注意 2.124 (零への極限)   極限をおきかえて計算を行う：

• $x\to a$ のとき $t=x-a$ とおき $t\to 0$ とする．
• $x\to 0$ のとき $t=1/x$ とおき $t\to\infty$ とする．

例 2.125 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to+0}\frac{1}{1+e^{-1/x}} t=1/x$$

$$= \lim_{t\to+\infty}\frac{1}{1+e^{-t}}= \lim_{t\to+\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{e^{t}}}= \frac{1}{1+\frac{1}{\infty}}= \frac{1}{1+0}=1\,.$$

例 2.126 (極限の計算例)  

$$\lim_{x\to+0}x\log x t=1/x$$

$$= \lim_{t\to+\infty}\frac{1}{t}\log\frac{1}{t}= \lim_{t\to+\infty}\frac{\log t^{-1}}{t}= -\lim_{t\to+\infty}\frac{\log t}{t}=0\,.$$

例 2.127 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to1} \frac{x^3-x^2-x+1}{x^2+x-2}= \lim_{x\to1} \frac{x^3-x^2-x+1}{(x-1)(x+2)} t=x-1$$

$$= \lim_{t\to0} \frac{(t+1)^3-(t+1)^2-(t+1)+1}{t(t+3)} = \lim_{t\to0} \frac{t^3+2t^2}{t(t+3)} = \lim_{t\to0} \frac{t^2+2t}{t+3}$$

$$= \frac{0+0}{0+3}=0\,.$$

例 2.128 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to1} \frac{x^2-1}{x^3-3x+2} t=x-1$$

$$=\lim_{t\to0} \frac{(t+1)^2-1}{(t+1)^3-3(t+1)+2}= \lim_{t\to0} \f... ...+3t^2}= \lim_{t\to0} \frac{t+2}{t^2+3t} = \frac{0+2}{0+0}=\frac{2}{0}=\infty\,.$$

平成22年6月17日