2.34 自然対数の底の公式を用いた極限の計算

公式 2.129 (ネピア数)  

$$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e\,.$$

例 2.130 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{2}{x}\right)^{x}= \lim_{x\to\infty} \left(\left(1+\frac{1}{x/2}\right)^{x/2}\right)^2 t=x/2$$

$$=\lim_{t\to\infty} \left(\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}\right)^2 =(e)^2=e^2\,.$$

例 2.131 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to+0} \frac{\log(1+x)}{x}= \lim_{x\to+0} \frac{1}{x}\log(1+x) = \lim_{x\to+0} \log(1+x)^{\frac{1}{x}} t=1/x$$

$$= \lim_{t\to+\infty} \log\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t} = \log e=1\,.$$

例 2.132 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to0} \frac{e^x-1}{x} t=e^x-1$$

$$= \lim_{t\to0} \frac{t}{\log(t+1)}= \lim_{t\to0} \left(\frac{1}{t}\log(t+1)\right)^{-1}= \lim_{t\to0} \left(\log(1+t)^{\frac{1}{t}}\right)^{-1} z=1/t$$

$$= \lim_{z\to\infty} \left(\log\left(1+\frac{1}{z}\right)^{z}\right)^{-1} = \left(\log e\right)^{-1} = 1^{-1}=1\,.$$

例 2.133 (関数の極限の計算例)  

$$\lim_{x\to+0}x^x=1\,.$$

（証明）     $y=x^x$ とおく． さらに $Y=\log y=\log x^x=x\log x$ とおくと，$y=e^Y$ と書ける． このとき，

$$\lim_{x\to+0}Y= \lim_{x\to+0}x\log x t=1/x$$

$$= \lim_{t\to+\infty}\frac{1}{t}\log\frac{1}{t}= \lim_{t\to+\infty}\frac{\log t^{-1}}{t}= -\lim_{t\to+\infty}\frac{\log t}{t}=0\$$

であるから，

$$\lim_{x\to+0}x^x= \lim_{x\to+0}y= \lim_{Y\to-0}e^{Y}= e^{0}=1$$

を得る．

平成22年6月17日