2.40 演習 〜 極限，連続

問 2.156 (極限)   次の関数について(i)関数$f(x)$のグラフを描け．(ii)右極限 $${\lim_{x \to +0}f(x)}$$と左極限 $${\lim_{x \to -0}f(x)}$$を求めよ．
    (1)   $${f(x)=\frac{\left\vert x \right\vert }{x} }$$     (2)   $${f(x)=\tanh \left( \frac{1}{x}\right) }$$     (3)   $${f(x)=\sin \left( \frac{1}{x} \right)}$$     (4)   $${f(x)=\mathrm{Tan}^{-1} \left( \frac{1}{x}\right) }$$

問 2.157 (代入だけで極限の計算)   次の極限値を求めよ．
    (1)   $${\lim_{x\to2}(3x+5)}$$     (2)   $${\lim_{x\to2}(x+7)(x-3)}$$     (3)   $${\lim_{x\to2}(x^2+x-2)}$$     (4)   $${\lim_{x\to-2}(2x^3-x+5)}$$
    (5)   $${\lim_{x\to0}\frac{x+3}{x^2-1}}$$     (6)   $${\lim_{x\to3}\frac{x^2-1}{x^2+2}}$$     (7)   $${\lim_{x\to3}\frac{x^2+3x}{x^2+2x+2}}$$

問 2.158 (グラフから極限の計算)   次の極限値を求めよ．
    (1)   $${\lim_{x\to+0}\frac{1}{x}}$$     (2)   $${\lim_{x\to-0}\frac{1}{x}}$$     (3)   $${\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}}$$     (4)   $${\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}}$$     (5)   $${\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{2}}}$$     (6)   $${\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x^{2}}}$$     (7)   $${\lim_{x\to+\infty}e^{x}}$$
    (8)   $${\lim_{x\to-\infty}e^{x}}$$     (9)   $${\lim_{x\to+\infty}e^{-x}}$$     (10)   $${\lim_{x\to-\infty}e^{-x}}$$     (11)   $${\lim_{x\to+\infty}\mathrm{Tan}^{-1} x}$$     (12)   $${\lim_{x\to-\infty}\mathrm{Tan}^{-1} x}$$

問 2.159 (有理式の極限の計算)   次の極限値を求めよ．
    (1)   $${\lim_{x\to\infty}\frac{x-2}{x+1}}$$     (2)   $${\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-2}{x+1}}$$     (3)   $${\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}+x+1}{x^{5}-x}}$$     (4)   $${\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}+3x+1}{x-5}}$$     (5)   $${\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-x}{2x^{2}+3}}$$
    (6)   $${\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}+2}{x^{5}-4x^{2}+1}}$$     (7)   $${\lim_{x\to\infty}\frac{2x^4+3x^2}{5x^4+2x^3+2x^2}}$$     (8)   $${\lim_{x\to\infty}\frac{x^3-2x-1}{x^5-1}}$$     (9)   $${\lim_{x\to0}\frac{x^{3}+2x}{x^{5}-3x^{2}}}$$
    (10)   $${\lim_{x\to0}\frac{5x^{4}-x^{3}}{2x^{3}-x^{2}}}$$     (11)   $${\lim_{x\to0}\frac{x^3+4x-1}{x^4-x^2}}$$     (12)   $${\lim_{x\to\infty}\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+1}}}$$

問 2.160 (収束の速さを比較して極限の計算)   次の極限値を求めよ．
    (1)   $${\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}}{x}}$$     (2)   $${\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^{x}}}$$     (3)   $${\lim_{x\to+\infty}\frac{2x-1+e^{x}}{x^{3}-5x+1}}$$     (4)   $${\lim_{x\to+\infty}\frac{\log x}{x}}$$     (5)   $${\lim_{x\to+\infty}\frac{-5x+1}{2x-1+\log x}}$$
    (6)   $${\lim_{x\to+\infty}\frac{2x-1+e^{x}}{2x-1+\log x}}$$

問 2.161 (はさみうちの定理による極限の計算)   次の極限値を求めよ．
    (1)   $${\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}}$$     (2)   $${\lim_{x\to 0}x\sin\frac{1}{x}}$$

問 2.162 (根号の有理化による極限の計算)   次の極限値を求めよ．
    (1)   $${\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}}$$     (2)   $${\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{4x+1}-\sqrt{x+1}}{x}}$$     (3)   $${\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{x^2}}$$
    (4)   $${\lim_{x\to0}\frac{x}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}}$$     (5)   $${\lim_{x\to0}\frac{x}{\sqrt{2-x}-\sqrt{2+x}}}$$     (6)   $${\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}\left(\sqrt{x+a}-\sqrt{x}\right)}$$
    (7)   $${\lim_{x\to+\infty}\sqrt{2x}\left(\sqrt{x}-\sqrt{x+1}\right)}$$

問 2.163 (変数をおきかえて極限の計算)   次の極限値を求めよ．
    (1)   $${\lim_{x\to+0}\frac{1}{1+e^{-1/x}}}$$ （$t=1/x$ とおく）     (2)   $${\lim_{x\to+0}x\log x}$$ （$t=1/x$ とおく）
    (3)   $${\lim_{x\to1}\frac{x^{2}-1}{x^{2}+x-2}}$$ （$t=x-1$ とおく）     (4)   $${\lim_{x\to1}\frac{x^3-x^2-x+1}{x^2+x-2}}$$     (5)   $${\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x^3-3x+2}}$$
    (6)   $${\lim_{x\to1}\frac{x^2+x-2}{x^2-1}}$$     (7)   $${\lim_{x\to1}\frac{2x^2-5x+3}{x^2-4x+3}}$$     (8)   $${\lim_{x\to-3}\frac{x^3+3x^2}{x^2+2x-3}}$$

問 2.164 (公式による極限の計算)   次の極限値を求めよ．
    (1)   $${\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}$$     (2)   $${\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^x}$$     (3)   $${\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{2x}\right)^x}$$     (4)   $${\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x}$$
    (5)   $${\lim_{x\to 0}(1+ax)^{\frac{1}{x}}}$$     (6)   $${\lim_{x\to+0}\frac{\log(1+x)}{x}}$$     (7)   $${\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\log (1+3x)}$$     (8)   $${\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}}$$($t=e^{x}-1$)
    (9)   $${\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{x}}$$     (10)   $${\lim_{x\to+0}x^x}$$ （$y=x^{x}$ とおき $Y=\log y$ の極限を考える）     (11)   $${\lim_{x\to1}x^{\frac{1}{1-x}}}$$

問 2.165 (公式による極限の計算)   次の極限値を求めよ．
    (1)   $${\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}}$$     (2)   $${\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{x}}$$     (3)   $${\lim_{x\to0}\frac{\tan 2x}{x}}$$     (4)   $${\lim_{x\to0}\frac{\sin 4x}{\sin 3x}}$$     (5)   $${\lim_{x\to0}\frac{\sin 3x}{\sin 2x}}$$     (6)   $${\lim_{x\to0}\frac{2x+\sin 4x}{\sin 3x+5x}}$$
    (7)   $${\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x+x\cos x+\tan 4x}{x+\sin 3x}}$$     (8)   $${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{\sin^2 x}}$$     (9)   $${\lim_{x\to+0}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}}$$     (10)   $${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}}$$
    (11)   $${\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}}$$

問 2.166 (双曲線関数の極限)   次の極限値を求めよ．
    (1)   $${\lim_{x\to+\infty}\tanh x}$$     (2)   $${\lim_{x\to-\infty}\tanh x}$$     (3)   $${\lim_{x\to0}\frac{\sinh x}{x}}$$     (4)   $${\lim_{x\to0}\frac{\cosh x-1}{x}}$$     (5)   $${\lim_{x\to0}\frac{\tanh x}{x}}$$

問 2.167 (連続)   次の関数が連続となる$x$の範囲を定めよ．
    (1)   $${\frac{1}{x-2}}$$     (2)   $${\frac{x^2}{x-1}}$$     (3)   $${\frac{4x}{x^2-1}}$$     (4)   $${\frac{1-\vert x\vert}{x}}$$     (5)   $${\sqrt{x-3}}$$     (6)   $${\frac{\sin x}{x}}$$     (7)   $${\frac{1+\sin x}{1+\cos x}}$$
    (8)   $${\frac{1}{\sin x}}$$

問 2.168 (連続)   次の関数が連続関数となるように不連続点での値を定義せよ．
    (1)   $${\frac{\sin x}{x}}$$     (2)   $${\frac{\tan x}{x}} \quad\left(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\right)$$     (3)   $${\frac{\sin(3 x+2)}{3x+2}}$$     (4)   $${x\sin\frac{1}{x}}$$    $(x\neq 0)$
    (5)   $${\frac{x^2-1}{x-1}}$$     (6)   $${\frac{x^3-1}{x}+\frac{x+1}{x}}$$    $(x\neq 0)$

平成22年6月17日