2.14 全微分可能性と偏微分可能性

定理 2.66 (全微分可能の必要条件) 関数が全微分可能であれば，は偏微分可能であり，

$\displaystyle dz= \frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\partial f}{\partial y}dy$

が成り立つ．

（証明）関数が全微分可能であれば，

$\displaystyle \Delta z=\alpha\Delta x+\beta\Delta y+o(\rho) \quad(\rho\to0), \quad \rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$

が成り立つ．軸に沿って極限をとる． $\Delta y=0$ , $\Delta x\to 0$ とする．このとき， $\rho=\vert\Delta x\vert$ であるから，

$\displaystyle \Delta z=\alpha\Delta x+o(\vert\Delta x\vert) \quad(\vert\Delta x\vert\to0)$

が成り立つ．これは

	$\displaystyle \frac{\Delta z}{\Delta x}-\alpha= \frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \q... ...tarrow\quad \lim_{\Delta x\to 0}\left(\frac{\Delta z}{\Delta x}-\alpha\right)=0$
	$\displaystyle \quad\Leftrightarrow\quad \alpha= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delt... ...a x\to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}= \frac{\partial f}{\partial x}$

と等価である．また，軸に沿って極限をとる． $\Delta x=0$ , $\Delta y\to 0$ とすると，同様にして $\displaystyle{\beta=\frac{\partial f}{\partial x}}$ を得る．