2.14 全微分可能性と偏微分可能性

定理 2.66 (全微分可能の必要条件)   関数 $ z=f(x,y)$ が全微分可能であれば, $ f$ は偏微分可能であり,

$\displaystyle dz= \frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\partial f}{\partial y}dy$    

が成り立つ.


(証明)     関数 $ z=f(x,y)$ が全微分可能であれば,

$\displaystyle \Delta z=\alpha\Delta x+\beta\Delta y+o(\rho) \quad(\rho\to0), \quad \rho=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$    

が成り立つ. $ x$ 軸に沿って極限をとる. $ \Delta y=0$, $ \Delta x\to 0$ とする. このとき, $ \rho=\vert\Delta x\vert$ であるから,

$\displaystyle \Delta z=\alpha\Delta x+o(\vert\Delta x\vert) \quad(\vert\Delta x\vert\to0)$    

が成り立つ. これは

  $\displaystyle \frac{\Delta z}{\Delta x}-\alpha= \frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \q...
...tarrow\quad \lim_{\Delta x\to 0}\left(\frac{\Delta z}{\Delta x}-\alpha\right)=0$    
  $\displaystyle \quad\Leftrightarrow\quad \alpha= \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delt...
...a x\to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}= \frac{\partial f}{\partial x}$    

と等価である. また,$ y$ 軸に沿って極限をとる. $ \Delta x=0$, $ \Delta y\to 0$ とすると, 同様にして $ \displaystyle{\beta=\frac{\partial f}{\partial x}}$ を得る.




平成21年12月2日