2.22 $n$ 変数関数と $m$ 変数関数の合成関数の微分

定理 2.96 (合成関数の微分)   $n$ 変数関数 $z=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=f(\vec{x})$ と $m$ 変数関数

$$x_1=\phi_1(u_1,u_2,\cdots,u_m)=\phi_1(\vec{u}),$$

$$x_2=\phi_2(u_1,u_2,\cdots,u_m)=\phi_2(\vec{u}),$$

$$\qquad\qquad\vdots$$

$$x_n=\phi_n(u_1,u_2,\cdots,u_m)=\phi_n(\vec{u})$$

の合成関数 $z=f(\vec{x}(\vec{u}))$ の偏微分は

$$\frac{\partial z}{\partial u_1} = \frac{\partial z}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial u_1... ...sum_{k=1}^{n} \frac{\partial z}{\partial x_k}\frac{\partial x_k}{\partial u_1},$$

$$\frac{\partial z}{\partial u_2} = \frac{\partial z}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial u_2... ...sum_{k=1}^{n} \frac{\partial z}{\partial x_k}\frac{\partial x_k}{\partial u_2},$$

$$\qquad\vdots$$

$$\frac{\partial z}{\partial u_m} = \frac{\partial z}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial u_m... ...\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial z}{\partial x_k}\frac{\partial x_k}{\partial u_m}$$

で与えられる． 行列表記すると

$$\begin{bmatrix}\frac{\partial z}{\partial u_1} & \frac{\partial z... ...rix} \quad\Leftrightarrow\quad \nabla_{\!\vec{u}}\,z= \nabla_{\!\vec{x}}\,z\, J$$

となる． ただし，

$$\nabla_{\!\vec{u}}= \begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial u_1} ... ..._{n} \end{bmatrix} = \left[\frac{\partial x_i}{\partial u_j}\right]_{m\times n}$$

とおいた， 行列 $J$ を ヤコビ行列（Jacobi matrix）という． 転置をとると

$$\begin{bmatrix}\frac{\partial z}{\partial u_1} \\ \frac{\partial ... ...ftrightarrow\quad (\nabla_{\!\vec{u}}\,z)^{T}= J^{T}(\nabla_{\!\vec{x}}\,z)^{T}$$

となる． 代入も含めて書くと $u_j$ ( $j=1,2,\cdots,n$) に関して

$$\frac{\partial}{\partial u_j} f(\phi_1(u_1,\cdots,u_m),\phi_2(u_1,\cdots,u_m), \cdots,\phi_n(u_1,\cdots,u_m))$$

$$\quad= \sum_{k=1}^{n} f_{x_k}( \phi_1(u_1,\cdots,u_m), \phi_2(u_1,\cdots,u_m),\cdots, \phi_n(u_1,\cdots,u_m)) \phi_{u_j}(u_1,\cdots,u_m)$$

と表される．

平成21年12月2日