2.22 $ n$ 変数関数と $ m$ 変数関数の合成関数の微分

定理 2.96 (合成関数の微分)   $ n$ 変数関数 $ z=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=f(\vec{x})$$ m$ 変数関数

  $\displaystyle x_1=\phi_1(u_1,u_2,\cdots,u_m)=\phi_1(\vec{u}),$    
  $\displaystyle x_2=\phi_2(u_1,u_2,\cdots,u_m)=\phi_2(\vec{u}),$    
  $\displaystyle \qquad\qquad\vdots$    
  $\displaystyle x_n=\phi_n(u_1,u_2,\cdots,u_m)=\phi_n(\vec{u})$    

の合成関数 $ z=f(\vec{x}(\vec{u}))$ の偏微分は

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u_1}$ $\displaystyle = \frac{\partial z}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial u_1...
...sum_{k=1}^{n} \frac{\partial z}{\partial x_k}\frac{\partial x_k}{\partial u_1},$    
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u_2}$ $\displaystyle = \frac{\partial z}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial u_2...
...sum_{k=1}^{n} \frac{\partial z}{\partial x_k}\frac{\partial x_k}{\partial u_2},$    
  $\displaystyle \qquad\vdots$    
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u_m}$ $\displaystyle = \frac{\partial z}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial u_m...
...\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial z}{\partial x_k}\frac{\partial x_k}{\partial u_m}$    

で与えられる. 行列表記すると

$\displaystyle \begin{bmatrix}\frac{\partial z}{\partial u_1} & \frac{\partial z...
...rix} \quad\Leftrightarrow\quad \nabla_{\!\vec{u}}\,z= \nabla_{\!\vec{x}}\,z\, J$    

となる. ただし,

$\displaystyle \nabla_{\!\vec{u}}= \begin{bmatrix}\frac{\partial}{\partial u_1} ...
..._{n} \end{bmatrix} = \left[\frac{\partial x_i}{\partial u_j}\right]_{m\times n}$    

とおいた, 行列 $ J$ヤコビ行列(Jacobi matrix)という. 転置をとると

$\displaystyle \begin{bmatrix}\frac{\partial z}{\partial u_1} \\ \frac{\partial ...
...ftrightarrow\quad (\nabla_{\!\vec{u}}\,z)^{T}= J^{T}(\nabla_{\!\vec{x}}\,z)^{T}$    

となる. 代入も含めて書くと $ u_j$ ( $ j=1,2,\cdots,n$) に関して

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial u_j}$ $\displaystyle f(\phi_1(u_1,\cdots,u_m),\phi_2(u_1,\cdots,u_m), \cdots,\phi_n(u_1,\cdots,u_m))$    
  $\displaystyle \quad= \sum_{k=1}^{n} f_{x_k}( \phi_1(u_1,\cdots,u_m), \phi_2(u_1,\cdots,u_m),\cdots, \phi_n(u_1,\cdots,u_m)) \phi_{u_j}(u_1,\cdots,u_m)$    

と表される.


平成21年12月2日