2.23 方向微分

定義 2.97 (方向微分)   関数 $f(\vec{x})$ の点 $\vec{a}$ における方向 $\vec{e}$ の 方向微分は

$$\frac{\partial f(\vec{a})}{\partial\vec{e}}= \frac{1}{\Vert\vec{e... ...k=1}^{n} \frac{\partial f(\vec{a})}{\partial x_k} \frac{e_k}{\Vert\vec{e}\Vert}$$

により定義される．

例 2.98 (方向微分)   関数 $z=f(x,y)=x^2+y^2$ の点 $(a,b)$ における 方向 $${\vec{p}=\begin{bmatrix}1\\ 1 \end{bmatrix}}$$ の方向微分を求める． $\vec{p}$ を規格化し単位方向ベクトルを求めると，

$$\vec{e}= \frac{\vec{p}}{\Vert\vec{p}\Vert}= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\alpha \\ \beta \end{bmatrix}$$

である．

$$f_x=2x, \quad f_y=2y$$

を用いて，

$$\frac{\partial f(a,b)}{\partial\vec{e}}= f_x(a,b)\alpha+f_y(a,b)\beta= \frac{2a}{\sqrt{2}}+ \frac{2b}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}(a+b)$$

となる．

平成21年12月2日