2.24 演習問題 〜 合成関数の微分

2.99 (合成関数の微分)   次の合成関数の導関数 $ \displaystyle{\frac{dz}{dt}}$ を求めよ.
    (1)  $ z=f(x,y)$ $ x=\alpha\,t+\beta$ $ y=\gamma\,t+\delta$     (2)  $ z=f(x,y)$$ x=\cos t$$ y=\sin t$
    (3)   $ \displaystyle{z=xg(y)+yf(x)}$, $ \displaystyle{x=t^3}$, $ \displaystyle{y=t^2}$     (4)   $ \displaystyle{z=xy}$ $ \displaystyle{x=3t^2+3}$ $ \displaystyle{y=t^3+1}$
    (5)  $ z=x^3y^2$$ x=t^2$$ y=t^4$     (6)   $ z=2xy-3x^2y^3$$ x=t^2$$ y=t^3$
    (7)   $ z=xy^2-x^2y$$ x=t^2$$ y=e^t$     (8)   $ z=4x^3y^2+5x^2y$$ x=t^2$$ y=t^3$
    (9)   $ z=y^2+2xy+3x^2$, $ x=\log t$, $ y=t$     (10)   $ z=x\,\cos y-y\,\cos x$$ x=\cos 2t$$ y=\sin 2t$
    (11)   $ \displaystyle{z=\mathrm{Tan}^{-1}xy}$$ x=t^2$$ y=1/(t+1)$     (12)   $ z=\mathrm{Tan}^{-1} xy$ $ x=e^t+e^{-t}$$ y=e^{2t}$
    (13)   $ z=e^{x^2y}$$ x=t$$ y=1/t$     (14)   $ z=e^{x^2y}$$ x=\cos t$$ y=t^2$
    (15)   $ z=t^2+2tx+3x^2$$ x=\log t$     (16)   $ z=2yt+3t^2$, $ y=e^{t^2}$

2.100 (合成関数の微分)   $ z=f(x,y)$ に対して, 次の高階導関数を求めよ.
    (1)   $ z=f(at,bt)$のとき, $ \displaystyle{\frac{dz}{dt}}$, $ \displaystyle{\frac{d^2z}{dt^2}}$, $ \displaystyle{\frac{d^3z}{dt^3}}$, $ \displaystyle{\frac{d^4z}{dt^4}}$を求めよ.
    (2)   $ z=f(g(t),t)$のとき, $ \displaystyle{\frac{dz}{dt}}$, $ \displaystyle{\frac{d^2z}{dt^2}}$を求めよ.
    (3)   $ z=f(x,g(x))$のとき, $ \displaystyle{\frac{dz}{dx}}$, $ \displaystyle{\frac{d^2z}{dx^2}}$を求めよ.

2.101 (合成関数の微分)   次の合成関数の偏導関数 $ \displaystyle{\frac{\partial z}{\partial u}}$, $ \displaystyle{\frac{\partial z}{\partial v}}$ を求めよ.
    (1)  $ z=f(x,y)$$ x=2u-3v$$ y=u-5v$     (2)  $ z=f(x,y)$ $ x=u\,\cos v$ $ y=u\,\sin v$
    (3)  $ z=f(x,y)$ $ x=\cos(u+v)$ $ y=\sin(u-v)$     (4)  $ z=f(x+3y)$$ x=u-2v$$ y=3u-4v$
    (5)  $ z=xy$ $ x=\alpha\,u+\beta\,v$ $ y=\gamma\,u+\delta\,v$     (6)   $ \displaystyle{z=(x+y)^2}$ $ \displaystyle{x=\sin\frac{v}{u}}$ $ \displaystyle{y=\cos\frac{u}{v}}$
    (7)  $ z=x^2-y^2$ $ x=\cosh (2u+3v)$ $ y=\sinh (3u-2v)$
    (8)   $ z=xy^2+x^2y$$ x=u+v$$ y=u-v$     (9)   $ \displaystyle{z=\mu x^2-\nu y^2}$$ x=u^2+v^2$$ y=u^2-v^2$
    (10)   $ \displaystyle{z=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}}$, $ x=u\,\cos v$, $ y=u\,\sin v$     (11)   $ z=\sin(x-y)$$ x=u^2+v^2$$ y=2uv$
    (12)   $ \displaystyle{z=\mathrm{Tan}^{-1}\frac{y}{x}}$$ x=u^2-v^2$$ y=2uv$     (13)   $ \displaystyle{z=\log{\sqrt{x^2+y^2}}}$$ x=u^2-v^2$$ y=2uv$

2.102 (合成関数の微分)   $ z=f(x,y)$, $ x=2u+3v$, $ y=u-2v$ のとき,次を示せ.
    (1)   $ z_u=2z_x+z_y$, $ z_v=3z_x-2z_y$     (2)   $ (z_u)^2+(z_v)^2=13(z_x)^2+5(z_y)^2-8z_xz_y$

2.103 (合成関数の微分)   $ z=f(x,y)$, $ x=r\cos\theta$, $ y=r\sin\theta$ のとき,次を示せ.
    (1)   $ z_r=z_x\cos\theta +z_y\sin\theta $, $ z_{\theta}=-z_x r\sin\theta +z_y r\cos \theta $     (2)   $ \displaystyle{(z_x)^2+(z_y)^2=(z_r)^2+\left(\frac{z_\theta}{r}\right)^2}$

2.104 (合成関数の微分)   次の関数 $ f(x,y)$ の点 $ A$ における 方向 $ \vec{p}$ の方向微分を求めよ.
    (1)   $ f(x,y)=x^{2}+y^{2}$, $ A(1,1)$, $ \displaystyle{\vec{p}=\begin{bmatrix}1\\ 1 \end{bmatrix}}$     (2)  $ f(x,y)=xy$, $ A(1,-1)$, $ \displaystyle{\vec{p}=\begin{bmatrix}\cos\theta \\ \sin\theta \end{bmatrix}}$


平成21年12月2日