2.25 偏微分作用素

2.105 (偏微分作用素)   関数 $ f(x)$ の 1 階偏導関数は

$\displaystyle f_{x}= \frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}f$    

と表される.微分するという操作

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}$    

偏微分作用素(演算子) (partial differential operator)という.

2.106 (高階微分)   関数 $ f(x)$ の 2 階偏導関数は

$\displaystyle f_{xx}= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}= \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x}f=$ $\displaystyle \left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^2f= \frac{\partial^2}{\partial x^2}f$    

と表される.関数 $ f$ は任意であるから 偏微分作用素のみを抜き出すと

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x}= \left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^2= \frac{\partial^2}{\partial x^2}$    

と表される. 同様にして $ n$ 階偏導関数は

$\displaystyle \frac{\partial^n f}{\partial x^n}= \underbrace{\frac{\partial}{\partial x}\cdots \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x}}_{n} f=$ $\displaystyle \left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^nf= \frac{\partial^n}{\partial x^n}f$    

と表される.関数 $ f$ は任意であるから

$\displaystyle \underbrace{\frac{\partial}{\partial x}\cdots \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x}}_{n}=$ $\displaystyle \left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^n= \frac{\partial^n}{\partial x^n}$    

が成り立つ.

2.107 (線形結合の微分)   関数 $ f(x,y)$$ x$$ y$ に関する 1 階偏導関数の線形結合は

$\displaystyle \alpha f_x+\beta f_y= \alpha\frac{\partial f}{\partial x}+ \beta\...
...t( \alpha\frac{\partial}{\partial x}+ \beta\frac{\partial}{\partial y} \right)f$    

と表される. 関数 $ f$ は任意であるから $ \alpha f_{x}+\beta f_{y}$ の作用素は

$\displaystyle \alpha\frac{\partial}{\partial x}+ \beta\frac{\partial}{\partial y}$    

である.

2.108 (2 項展開)   $ \displaystyle{\alpha\frac{\partial}{\partial x}+
\beta\frac{\partial}{\partial y}}$ を 2 回繰り返す作用素は

  $\displaystyle \left( \alpha\frac{\partial}{\partial x}+ \beta\frac{\partial}{\p...
...ft( \alpha\frac{\partial}{\partial x}+ \beta\frac{\partial}{\partial y} \right)$    
  $\displaystyle = \alpha^2\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^2+ 2\alpha\bet...
...\partial}{\partial y}\right)+ \beta^2\left(\frac{\partial}{\partial y}\right)^2$    
  $\displaystyle = \alpha^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}+ 2\alpha\beta \frac{\partial^2}{\partial x\partial y}+ \beta^2\frac{\partial^2}{\partial y^2}$    

と表される. $ \displaystyle{\alpha\frac{\partial}{\partial x}+
\beta\frac{\partial}{\partial y}}$$ n$ 回繰り返す作用素は

$\displaystyle \left( \alpha\frac{\partial}{\partial x}+ \beta\frac{\partial}{\partial y} \right)^n$ $\displaystyle = \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}n \\ k-n \end{pmatrix} \left(\alp...
...matrix} \alpha^{n-k}\beta^{k} \frac{\partial^n}{\partial x^{n-k}\partial y^{k}}$    

と表される.

2.109 (積の微分)   関数 $ f(x)$, $ g(x)$ に対して

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} \left(g\frac{\partial f}{\partial x}\...
...ft( g_{x}\frac{\partial}{\partial x}+ g\frac{\partial^2}{\partial x^2}\right) f$    

が成り立つ.$ f$ は任意であるから,

  $\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}g\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\...
...rtial x^2} = g_{x}\frac{\partial}{\partial x}+ g\frac{\partial^2}{\partial x^2}$    

と書ける.

2.110 (関数係数の 2 項展開)   偏微分作用素

$\displaystyle L= a(x,y)\frac{\partial}{\partial x}+ b(x,y)\frac{\partial}{\partial y}$    

を 2 回繰り返すと

$\displaystyle L^2$ $\displaystyle = \left( a(x,y)\frac{\partial}{\partial x}+ b(x,y)\frac{\partial}{\partial y}\right)^2$    
  $\displaystyle = a^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}+ b^2\frac{\partial^2}{\parti...
...+a_{y}b)\frac{\partial}{\partial x}+ (ab_{x}+bb_{y})\frac{\partial}{\partial y}$    

となる.


平成21年12月2日