2.26 ライプニッツ則

定理 2.111 (ライプニッツ則)   1 変数関数 $ f(x)$, $ g(x)$ の積の $ n$ 回微分は

$\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}\left(f(x)g(x)\right)= \sum_{k=1}^{n} \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix} \frac{d^{n-k}f}{dx^{n-k}}\frac{d^kg}{dx^k}$    

で与えられる. これをライプニッツ則(Leibnitz rule)という.


(証明)     積 $ f(x)g(x)$ を微分すると

$\displaystyle \frac{d}{dx}f(x)g(x)$ $\displaystyle = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)= \frac{df(x)}{dx}g(x)+f(x)\frac{dg(x)}{dx}$    
  $\displaystyle = \lim_{y\to x} \frac{df(x)}{dx}g(y)+f(x)\frac{dg(y)}{dy} = \lim_...
...left( \frac{\partial}{\partial x}+ \frac{\partial}{\partial y} \right) f(x)g(y)$    

と表される.よって $ n$ 回微分は

$\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}f(x)g(x)$ $\displaystyle = \lim_{y\to x} \left( \frac{\partial}{\partial x}+ \frac{\partia...
...frac{\partial^{n-k}}{\partial x^{n-k}} \frac{\partial^k}{\partial y^k} f(x)g(y)$    
  $\displaystyle = \lim_{y\to x} \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix...
...\frac{\partial^{n-k}f(x)}{\partial x^{n-k}} \frac{\partial^kg(x)}{\partial x^k}$    

となる.

2.112 (積の微分)  

  $\displaystyle \frac{d}{dx}f(x)g(x)=f'g+gf',$    
  $\displaystyle \frac{d^2}{dx^2}f(x)g(x)= f''g+2f'g'+fg'',$    
  $\displaystyle \frac{d^3}{dx^3}f(x)g(x)= f'''g+3f''g'+3f'g''+g''',$    
  $\displaystyle \frac{d^4}{dx^4}f(x)g(x)= f^{(4)}g+4f'''g'+6f''g''+4f'g'''+g^{(4)}$    

2.113 (積の微分)   $ \displaystyle{\frac{d^{10}}{dx^{10}}f(x)g(x)}$ を求めよ.


平成21年12月2日