次元ユークリッド空間に
普通に導入する座標
は,
標準基底
における座標である.
座標を
とすると任意のベクトルは
☆![$\displaystyle )\qquad \vec{p}= x\vec{e}_x+y\vec{e}_y= \begin{bmatrix}\vec{e}_x ...
...trix} \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}$](img1007.png) |
|
と表される.
一方,
基底
における座標を
とおくと,
任意のベクトルは
★![$\displaystyle )\qquad \vec{p}= u\vec{e}_{u}+v\vec{e}_{v}= \begin{bmatrix}\vec{e...
...ix} \begin{bmatrix}u \\ v \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix}u \\ v \end{bmatrix}$](img1010.png) |
|
と表される.
ベクトル
は同じものであるから,
(☆), (★)より
○![$\displaystyle )\qquad \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\alph...
...ix} \begin{bmatrix}u \\ v \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix}u \\ v \end{bmatrix}$](img1011.png) |
|
が成り立つ.
は
基底
から
基底
への基底の変換行列である.
,
は基底であるから,
,
は必ず 1 次独立であり,
は正則で逆行列
が存在する.
このとき,
●![$\displaystyle )\qquad \begin{bmatrix}u \\ v \end{bmatrix} = A^{-1} \begin{bmatr...
... & -\gamma \\ -\beta & \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}$](img1018.png) |
|
が成り立つ.
(○)を座標
から座標
への座標変換という.
また,(●)を
座標
から座標
への座標変換という.
標準基底
,
は
をみたし直交するから,
座標
は直交座標である.
基底
,
の
方向余弦
は一般には 0 とはならないので,
座標
は斜交座標である.
例 2.117 (斜交座標における偏導関数)
直交座標
![$ xy$](img21.png)
から斜交座標
![$ uv$](img1023.png)
への座標変換(○)を考える.
関数
![$ z=f(x,y)$](img232.png)
における
![$ u$](img683.png)
,
![$ v$](img1024.png)
に関する偏導関数を求める.
(○)より
であるから,
となり,
導関数の微分則を用いると
△![$\displaystyle ) \qquad z_u= \frac{\partial z}{\partial u}= \frac{\partial z}{\p...
...c{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = \gamma z_x+\delta z_y$](img1027.png) |
|
を得る.この関係式は
♭![$\displaystyle )\qquad \begin{bmatrix}z_u & z_v \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}z...
...amma \\ \beta & \delta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}z_x & z_y \end{bmatrix} A$](img1028.png) |
|
とも表される.また,
ナブラ作用素
を導入すれば
と簡潔に表される.
例 2.118 (直交座標から斜交座標へのヤコビアン)
直交座標
![$ xy$](img21.png)
から斜交座標
![$ uv$](img1023.png)
への座標変換(○)の
ヤコビアンを求める.
(♭)よりヤコビアンは
と得られる.
例 2.119 (斜交座標における偏微分作用素)
斜交座標
![$ uv$](img1023.png)
から直交座標
![$ xy$](img21.png)
への座標変換(●)の
偏微分作用素の変換式を求める.
座標変換(○)より導出された(△)を書き直すと
△![$\displaystyle ) \qquad \frac{\partial z}{\partial u} = \alpha\frac{\partial z}{...
...( \gamma\frac{\partial}{\partial x}+ \delta\frac{\partial}{\partial y} \right)z$](img1032.png) |
|
と書ける.
関数
![$ z$](img63.png)
は任意でもよいので
関数を省略すると,
偏微分演算子の関係式
を得る.
この関係式は偏微分作用素に関する
![$ uv$](img1023.png)
座標から
![$ xy$](img21.png)
座標への変換を表す.
点に関する座標変換(○)の逆向きの変換であることに注意する.
例 2.120 (斜交座標における偏微分作用素)
直交座標
![$ xy$](img21.png)
から斜交座標
![$ uv$](img1023.png)
への座標変換(○)を考える.
関数
![$ z=f(u,v)$](img1034.png)
における
![$ x$](img27.png)
,
![$ y$](img25.png)
に関する偏導関数を求める.
(●)より座標変換は
であるか,導関数の微分則を用いると
を得る.この関係式は
とも表される.
この結果は(♭)の両辺に
![$ A^{-1}$](img1017.png)
を右から
掛けることでも得られる.
また,ナブラ作用素を導入すると
と簡潔に表される.
次に(▲)において関数
![$ z$](img63.png)
は任意で成り立つので
省略すると,
偏微分作用素の関係式
を得る.
この関係式は偏微分作用素に関する
![$ xy$](img21.png)
座標から
![$ uv$](img1023.png)
座標への変換を表す.
点に関する座標変換(●)の逆向きの変換であることに注意する.
例 2.121 (斜交座標への座標変換)
関数
![$ z=f(x,y)$](img232.png)
に対して関数
を考える.
この関数を斜交座標
![$ uv$](img1023.png)
で表す.
(▲)を代入すると
を得る.
例 2.122 (斜交座標におけるラプラシアン)
関数
![$ z=f(x,y)$](img232.png)
に対して関数
を考える.
この関数を斜交座標
![$ uv$](img1023.png)
で表す.
(◎)より
となるから,
を得る.
例 2.123 (斜交座標におけるラプラシアン)
直交座標
![$ xy$](img21.png)
から斜交座標
![$ uv$](img1023.png)
への座標変換(○)を考える.
このとき
ラプラシアン(Laplacian)または
ラプラス作用素(Laplace operator)
と呼ばれる
偏微分作用素
の
![$ uv$](img1023.png)
座標への変換を行う.
前例題において関数
![$ z$](img63.png)
は任意であるから,
を得る.
平成21年12月2日