2.31 3 次元空間の極座標

定義 2.133 (極座標)   3 次元空間において, 直交座標 $ (x,y,z)$ から 極座標(polar coordinates) $ (r,\theta,\varphi)$ への 座標変換は

$\displaystyle x=r\sin\theta\cos\varphi, \qquad y=r\sin\theta\sin\varphi, \qquad z=r\cos\theta$    

で与えられる.

注意 2.134 (極座標)   極座標 $ (r,\theta,\varphi)$ から 直交座標 $ (x,y,z)$ への座標変換は

$\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \qquad \theta=\mathrm{Tan}^{-1}\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}, \qquad \varphi=\mathrm{Tan}^{-1}\frac{y}{x}$    

と表される.

\includegraphics[width=0.5\textwidth]{polar3.eps}

2.135 (極座標のヤコビアン)  

  $\displaystyle \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}= \begin{vmatri...
...n\varphi& r\sin\theta\cos\varphi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{vmatrix}$    
  $\displaystyle = \cos\theta \begin{vmatrix}r\cos\theta\cos\varphi& -r\sin\theta\...
...\theta\sin\varphi\\ \sin\theta\sin\varphi& r\sin\theta\cos\varphi \end{vmatrix}$    
  $\displaystyle = r^2\cos^2\theta\sin\theta \begin{vmatrix}\cos\varphi& -\sin\var...
...egin{vmatrix}\cos\varphi& -\sin\varphi\\ \sin\varphi& \cos\varphi \end{vmatrix}$    
  $\displaystyle = r^2\sin\theta \left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right) (\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)$    
  $\displaystyle = r^2\sin\theta$    


平成21年12月2日