2.31 3 次元空間の極座標

定義 2.133 (極座標)   3 次元空間において， 直交座標 $(x,y,z)$ から 極座標（polar coordinates） $(r,\theta,\varphi)$ への 座標変換は

$$x=r\sin\theta\cos\varphi, \qquad y=r\sin\theta\sin\varphi, \qquad z=r\cos\theta$$

で与えられる．

注意 2.134 (極座標)   極座標 $(r,\theta,\varphi)$ から 直交座標 $(x,y,z)$ への座標変換は

$$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \qquad \theta=\mathrm{Tan}^{-1}\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}, \qquad \varphi=\mathrm{Tan}^{-1}\frac{y}{x}$$

と表される．

例 2.135 (極座標のヤコビアン)  

$$\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}= \begin{vmatri... ...n\varphi& r\sin\theta\cos\varphi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{vmatrix}$$

$$= \cos\theta \begin{vmatrix}r\cos\theta\cos\varphi& -r\sin\theta\... ...\theta\sin\varphi\\ \sin\theta\sin\varphi& r\sin\theta\cos\varphi \end{vmatrix}$$

$$= r^2\cos^2\theta\sin\theta \begin{vmatrix}\cos\varphi& -\sin\var... ...egin{vmatrix}\cos\varphi& -\sin\varphi\\ \sin\varphi& \cos\varphi \end{vmatrix}$$

$$= r^2\sin\theta \left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right) (\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)$$

$$= r^2\sin\theta$$

平成21年12月2日