2.32 調和関数

定義 2.136 (ラプラス演算子)   $n$ 次元座標 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ の空間の ラプラス演算子（Laplace operator）または ラプラシアン（Laplacian）は

$$\triangle= \frac{\partial^2}{\partial x_1{}^2}+ \frac{\partial^2}{\partial x_2{}^2}+ \cdots+ \frac{\partial^2}{\partial x_n{}^2}$$

により定義される．

定義 2.137 (調和関数)   $n$ 変数関数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ が

$$\triangle f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0$$

をみたすとき，$f$ を調和関数（harmonic function）という．

例 2.138 (調和関数)   次の関数は調和関数である．

$$f(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}$$

$$f(x,y)=\mathrm{Tan}^{-1}\frac{y}{x}$$

$$f(x,y,z)=\log(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$$

平成21年12月2日