2.33 演習問題 〜 偏微分作用素，座標変換

例 2.139 (偏微分作用素)   偏微分作用素 $${L=a\frac{\partial}{\partial x}+b\frac{\partial}{\partial y}}$$ に対して，次が成り立つことを示せ． ただし，$a$, $b$ は定数とする．
    (1)   $${ L^2= a^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}+ 2ab\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}+ b^2\frac{\partial^2}{\partial y^2} }$$     (2)   $${ L^3= a^3\frac{\partial^3}{\partial x^3}+ 3a^2b\frac{\partial^3}... ...\frac{\partial^3}{\partial x\partial y^2}+ b^3\frac{\partial^3}{\partial y^3} }$$

例 2.140 (偏微分作用素)   偏微分作用素 $${L=a(x,y)\frac{\partial}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial}{\partial y}}$$ に対して，次が成り立つことを示せ． ただし，$a(x,y)$, $b(x,y)$ は関数とする．
    (1)   $${ L^2= a^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}+ 2ab\frac{\partial^2}{\... ...aa_x+a_yb)\frac{\partial}{\partial x}+ (ab_x+bb_y)\frac{\partial}{\partial y} }$$

例 2.141 (ライプニッツ則)   1 変数関数 $f(x)$, $g(x)$ の積 $f(x)g(x)$ の微分が

$$\frac{d}{dx}f(x)g(x)= \frac{df(x)}{dx}g(x)+f(x)\frac{dg(x)}{dx}= ... ...left( \frac{\partial}{\partial x}+ \frac{\partial}{\partial y} \right) f(x)g(y)$$

と書けることを用いて，次を求めよ．
    (1)   $${\frac{d}{dx}f(x)g(x)}$$     (2)   $${\frac{d^2}{dx^2}f(x)g(x)}$$     (3)   $${\frac{d^3}{dx^3}f(x)g(x)}$$     (4)   $${\frac{d^4}{dx^4}f(x)g(x)}$$     (5)   $${\frac{d^{10}}{dx^{10}}f(x)g(x)}$$

問 2.142 (座標変換)   座標変換
    (i)   $${x=2u+3v,y=u-2v}$$     (ii)   $${x=2u-v, y=u+2v}$$     (iii)   $${x=2u-3v,y=4u+5v}$$
    (iv)   $${x=\sqrt{3}u-\sqrt{3}v, y=u+v}$$     (v)   $${x=u-v, y=u+\sqrt{3}v}$$
それぞれにおいて， 次を座標変換をせよ．
    (1)   $u=0,\pm1,\pm2,\cdots$, $v=0,\pm1,\pm2,\cdots$ をみたす $(x,y)$ の軌跡をそれぞれ書け．     (2)   $u$ 軸($v=0$ の直線)と $v$ 軸($u=0$ の直線)の 方向ベクトルを求めよ．     (3)   $u$ 軸と $v$ 軸のなす角度を求めよ．     (4)   $uv$ 座標で $(u,v)= (0,1),(-3,4),(1,0)$ となる 点の $xy$ 座標における座標 $(x,y)$ を求めよ．     (5)   $xy$ 座標で $(x,y)=(1,0),(-8,6),(2,3)$ となる点の $uv$ 座標における座標 $(u,v)$ を求めよ．     (6)   直線 $x+2y=1$ を座標 $(u,v)$ で表せ．     (7)   曲線 $x^2+y^2=1$ を座標 $(u,v)$ で表せ．
    (8)   ヤコビアン $${\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}$$を求めよ．     (9)  $z_u$, $z_v$     (10)  $z_x$, $z_y$     (11)   $${\frac{\partial}{\partial u}}$$, $${\frac{\partial}{\partial v}}$$     (12)   $${\frac{\partial}{\partial x}}$$, $${\frac{\partial}{\partial y}}$$
    (13)   $F=(z_x)^2+(z_y)^2$     (14)   $${G=z_{xx}+z_{yy}}$$     (15)   $${ \triangle= \frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\partial y^2}}$$     (16)  $z_{uu}$, $z_{uv},z_{vv}$

問 2.143 (直交座標と斜交座標)   標準基底 $\vec{e}_{x}$, $\vec{e}_{y}$ から 基底 $\vec{e}_u=\begin{bmatrix}\alpha \\ [-.5ex] \beta \end{bmatrix}$, $\vec{e}_v=\begin{bmatrix}\gamma \\ [-.5ex] \delta \end{bmatrix}$ への座標変換 $x=\alpha u+\gamma v$, $xy=\beta u+\delta v$ に関して次の問に答えよ．
    (1)   $\vec{e}_u$ と $\vec{e}_v$ とが直交する $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ の条件を求めよ．     (2)   $\vec{e}_u$, $\vec{e}_v$ が単位ベクトルとなる $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ の条件を求めよ．     (3)   $\vec{e}_u$, $\vec{e}_v$ が正規直交基底となる $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ の条件を求めよ．     (4)   $\vec{e}_u$, $\vec{e}_v$ が正規直交基底となるとき， 基底の変換行列 $A=\begin{bmatrix}\vec{e}_{u} & \vec{e}_{v} \end{bmatrix}$ は直交行列となる ことを示せ． （ヒント：$A^{T}A=E$ を示す．）     (5)   基底 $\vec{e}_u$, $\vec{e}_v$ が 正規直交基底であるとき， 関数 $F=(z_x)^2+(z_y)^2$ は 斜交座標 $uv$ において， $F=(z_u)^2+(z_v)^2$ と表されることを示せ．     (6)   基底 $\vec{e}_u$, $\vec{e}_v$ が 正規直交基底であるとき， ラプラシアン $${ \triangle= \frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\partial y^2}}$$ は斜交座標 $uv$ において， $${ \triangle= \frac{\partial^2}{\partial u^2}+ \frac{\partial^2}{\partial v^2}}$$ となることを示せ．

問 2.144 (座標変換)   座標変換 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ により， 次を座標変換せよ．
    (1)   $r\theta$ 座標で $(r,\theta)= (0,1),(-3,4),(1,\pi)$ となる 点の $xy$ 座標における座標 $(x,y)$ を求めよ．
    (2)   $xy$ 座標で $(x,y)=(1,0),(-8,6),(2,3)$ となる点の $r\theta$ 座標における座標 $(r,\theta)$ を求めよ．
    (3)   ヤコビアン $${\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)}}$$を求めよ．     (4)   $z_r, z_\theta$     (5)  $z_x,z_y$     (6)   $F=(z_x)^2+(z_y)^2$
    (7)   $${\frac{\partial}{\partial r}}$$, $${\frac{\partial}{\partial \theta}}$$     (8)   $${\frac{\partial}{\partial x}}$$, $${\frac{\partial}{\partial y}}$$     (9)   $${G=z_{xx}+z_{yy}}$$     (10)   $${ \triangle= \frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\partial y^2}}$$     (11)   $z_{rr},z_{r\theta},z_{\theta\theta}$

問 2.145 (3 次元の極座標)   3 次元の極座標変換 $x=r\sin\theta\cos\varphi$, $y=r\sin\theta\sin\varphi$, $z=r\cos\theta$ において次が成り立つことを示せ．
    (1)   $${\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}=r^2\sin\theta}$$     (2)   $${ \begin{bmatrix} f_r & f_\theta & f_\varphi \end{bmatrix}= \begi... ...\varphi& r\sin\theta\cos\varphi\\ \cos\theta& -r\sin\theta& 0 \end{bmatrix} }$$
    (3)   $${ \begin{bmatrix} f_x & f_y & f_z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} ... ...i}{\cos\theta} & \frac{1}{r}\frac{\cos\varphi}{\sin\theta} & 0 \end{bmatrix} }$$
    (4)   $${ \triangle= \frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\... ...artial}{\partial r}+ \frac{1}{r^2\tan\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} }$$

問 2.146 (調和関数と極座標)   次の関数にラプラシアン $\triangle$ を作用させた関数 $\triangle f$ を 極座標に変換してから求めよ．
    (1)   $${f(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}}$$     (2)   $${f(x,y)=\mathrm{Tan}^{-1}\frac{y}{x}}$$     (3)   $${f(x,y,z)=\log(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}$$

問 2.147 (座標変換)   次の座標変換のヤコビアンを求めよ．
    (1)   $(x,y)\leftrightarrow(r,\theta)$: $x=3r\cos\theta$, $y=2r\sin\theta$     (2)   $(x,y)\leftrightarrow(r,t)$: $x=r\cosh t$, $y=r\sinh t$
    (3)   $(x,y)\leftrightarrow(u,v)$: $x=u$, $y=u^2+v$     (4)   $(x,y)\leftrightarrow(u,v)$: $x=u+v$, $y=uv$
    (5)   $(x,y)\leftrightarrow(u,v)$: $x=uv$, $y=u^2-v^2$
    (6)   $(x,y,z)\leftrightarrow(u,v,w)$: $x=u-2w$, $y=v-w+1$, $z=u-w+2$

平成21年12月2日