2.33 演習問題 〜 偏微分作用素,座標変換

2.139 (偏微分作用素)   偏微分作用素 $ \displaystyle{L=a\frac{\partial}{\partial x}+b\frac{\partial}{\partial y}}$ に対して,次が成り立つことを示せ. ただし,$ a$, $ b$ は定数とする.
    (1)   $ \displaystyle{
L^2=
a^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}+
2ab\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}+
b^2\frac{\partial^2}{\partial y^2}
}$     (2)   $ \displaystyle{
L^3=
a^3\frac{\partial^3}{\partial x^3}+
3a^2b\frac{\partial^3}...
...\frac{\partial^3}{\partial x\partial y^2}+
b^3\frac{\partial^3}{\partial y^3}
}$

2.140 (偏微分作用素)   偏微分作用素 $ \displaystyle{L=a(x,y)\frac{\partial}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial}{\partial y}}$ に対して,次が成り立つことを示せ. ただし,$ a(x,y)$, $ b(x,y)$ は関数とする.
    (1)   $ \displaystyle{
L^2=
a^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}+
2ab\frac{\partial^2}{\...
...aa_x+a_yb)\frac{\partial}{\partial x}+
(ab_x+bb_y)\frac{\partial}{\partial y}
}$

2.141 (ライプニッツ則)   1 変数関数 $ f(x)$, $ g(x)$ の積 $ f(x)g(x)$ の微分が

$\displaystyle \frac{d}{dx}f(x)g(x)= \frac{df(x)}{dx}g(x)+f(x)\frac{dg(x)}{dx}= ...
...left( \frac{\partial}{\partial x}+ \frac{\partial}{\partial y} \right) f(x)g(y)$    

と書けることを用いて,次を求めよ.
    (1)   $ \displaystyle{\frac{d}{dx}f(x)g(x)}$     (2)   $ \displaystyle{\frac{d^2}{dx^2}f(x)g(x)}$     (3)   $ \displaystyle{\frac{d^3}{dx^3}f(x)g(x)}$     (4)   $ \displaystyle{\frac{d^4}{dx^4}f(x)g(x)}$     (5)   $ \displaystyle{\frac{d^{10}}{dx^{10}}f(x)g(x)}$

2.142 (座標変換)   座標変換
    (i)   $ \displaystyle{x=2u+3v,y=u-2v}$     (ii)   $ \displaystyle{x=2u-v, y=u+2v}$     (iii)   $ \displaystyle{x=2u-3v,y=4u+5v}$
    (iv)   $ \displaystyle{x=\sqrt{3}u-\sqrt{3}v, y=u+v}$     (v)   $ \displaystyle{x=u-v, y=u+\sqrt{3}v}$
それぞれにおいて, 次を座標変換をせよ.
    (1)   $ u=0,\pm1,\pm2,\cdots$, $ v=0,\pm1,\pm2,\cdots$ をみたす $ (x,y)$ の軌跡をそれぞれ書け.     (2)   $ u$ 軸($ v=0$ の直線)と $ v$ 軸($ u=0$ の直線)の 方向ベクトルを求めよ.     (3)   $ u$ 軸と $ v$ 軸のなす角度を求めよ.     (4)   $ uv$ 座標で $ (u,v)=
(0,1),(-3,4),(1,0)$ となる 点の $ xy$ 座標における座標 $ (x,y)$ を求めよ.     (5)   $ xy$ 座標で $ (x,y)=(1,0),(-8,6),(2,3)$ となる点の $ uv$ 座標における座標 $ (u,v)$ を求めよ.     (6)   直線 $ x+2y=1$ を座標 $ (u,v)$ で表せ.     (7)   曲線 $ x^2+y^2=1$ を座標 $ (u,v)$ で表せ.
    (8)   ヤコビアン $ \displaystyle{\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}$を求めよ.     (9)  $ z_u$, $ z_v$     (10)  $ z_x$, $ z_y$     (11)   $ \displaystyle{\frac{\partial}{\partial u}}$, $ \displaystyle{\frac{\partial}{\partial v}}$     (12)   $ \displaystyle{\frac{\partial}{\partial x}}$, $ \displaystyle{\frac{\partial}{\partial y}}$
    (13)   $ F=(z_x)^2+(z_y)^2$     (14)   $ \displaystyle{G=z_{xx}+z_{yy}}$     (15)   $ \displaystyle{
\triangle=
\frac{\partial^2}{\partial x^2}+
\frac{\partial^2}{\partial y^2}}$     (16)  $ z_{uu}$, $ z_{uv},z_{vv}$

2.143 (直交座標と斜交座標)   標準基底 $ \vec{e}_{x}$, $ \vec{e}_{y}$ から 基底 $ \vec{e}_u=\begin{bmatrix}\alpha \\ [-.5ex] \beta \end{bmatrix}$, $ \vec{e}_v=\begin{bmatrix}\gamma \\ [-.5ex] \delta \end{bmatrix}$ への座標変換 $ x=\alpha u+\gamma v$, $ xy=\beta u+\delta v$ に関して次の問に答えよ.
    (1)   $ \vec{e}_u$$ \vec{e}_v$ とが直交する $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$, $ \delta$ の条件を求めよ.     (2)   $ \vec{e}_u$, $ \vec{e}_v$ が単位ベクトルとなる $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$, $ \delta$ の条件を求めよ.     (3)   $ \vec{e}_u$, $ \vec{e}_v$ が正規直交基底となる $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$, $ \delta$ の条件を求めよ.     (4)   $ \vec{e}_u$, $ \vec{e}_v$ が正規直交基底となるとき, 基底の変換行列 $ A=\begin{bmatrix}\vec{e}_{u} & \vec{e}_{v} \end{bmatrix}$ は直交行列となる ことを示せ. (ヒント:$ A^{T}A=E$ を示す.)     (5)   基底 $ \vec{e}_u$, $ \vec{e}_v$ が 正規直交基底であるとき, 関数 $ F=(z_x)^2+(z_y)^2$ は 斜交座標 $ uv$ において, $ F=(z_u)^2+(z_v)^2$ と表されることを示せ.     (6)   基底 $ \vec{e}_u$, $ \vec{e}_v$ が 正規直交基底であるとき, ラプラシアン $ \displaystyle{
\triangle=
\frac{\partial^2}{\partial x^2}+
\frac{\partial^2}{\partial y^2}}$ は斜交座標 $ uv$ において, $ \displaystyle{
\triangle=
\frac{\partial^2}{\partial u^2}+
\frac{\partial^2}{\partial v^2}}$ となることを示せ.

2.144 (座標変換)   座標変換 $ x=r\cos\theta$, $ y=r\sin\theta$ により, 次を座標変換せよ.
    (1)   $ r\theta$ 座標で $ (r,\theta)=
(0,1),(-3,4),(1,\pi)$ となる 点の $ xy$ 座標における座標 $ (x,y)$ を求めよ.
    (2)   $ xy$ 座標で $ (x,y)=(1,0),(-8,6),(2,3)$ となる点の $ r\theta$ 座標における座標 $ (r,\theta)$ を求めよ.
    (3)   ヤコビアン $ \displaystyle{\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)}}$を求めよ.     (4)   $ z_r, z_\theta$     (5)  $ z_x,z_y$     (6)   $ F=(z_x)^2+(z_y)^2$
    (7)   $ \displaystyle{\frac{\partial}{\partial r}}$, $ \displaystyle{\frac{\partial}{\partial \theta}}$     (8)   $ \displaystyle{\frac{\partial}{\partial x}}$, $ \displaystyle{\frac{\partial}{\partial y}}$     (9)   $ \displaystyle{G=z_{xx}+z_{yy}}$     (10)   $ \displaystyle{
\triangle=
\frac{\partial^2}{\partial x^2}+
\frac{\partial^2}{\partial y^2}}$     (11)   $ z_{rr},z_{r\theta},z_{\theta\theta}$

2.145 (3 次元の極座標)   3 次元の極座標変換 $ x=r\sin\theta\cos\varphi$, $ y=r\sin\theta\sin\varphi$, $ z=r\cos\theta$ において次が成り立つことを示せ.
    (1)   $ \displaystyle{\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}=r^2\sin\theta}$     (2)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
f_r & f_\theta & f_\varphi
\end{bmatrix}=
\begi...
...\varphi&
r\sin\theta\cos\varphi\\
\cos\theta&
-r\sin\theta&
0
\end{bmatrix}
}$
    (3)   $ \displaystyle{
\begin{bmatrix}
f_x & f_y & f_z
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
...
...i}{\cos\theta} &
\frac{1}{r}\frac{\cos\varphi}{\sin\theta} &
0
\end{bmatrix}
}$
    (4)   $ \displaystyle{
\triangle=
\frac{\partial^2}{\partial x^2}+
\frac{\partial^2}{\...
...artial}{\partial r}+
\frac{1}{r^2\tan\theta}
\frac{\partial}{\partial \theta}
}$

2.146 (調和関数と極座標)   次の関数にラプラシアン $ \triangle$ を作用させた関数 $ \triangle f$ を 極座標に変換してから求めよ.
    (1)   $ \displaystyle{f(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}}$     (2)   $ \displaystyle{f(x,y)=\mathrm{Tan}^{-1}\frac{y}{x}}$     (3)   $ \displaystyle{f(x,y,z)=\log(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)}$

2.147 (座標変換)   次の座標変換のヤコビアンを求めよ.
    (1)   $ (x,y)\leftrightarrow(r,\theta)$: $ x=3r\cos\theta$, $ y=2r\sin\theta$     (2)   $ (x,y)\leftrightarrow(r,t)$: $ x=r\cosh t$, $ y=r\sinh t$
    (3)   $ (x,y)\leftrightarrow(u,v)$: $ x=u$, $ y=u^2+v$     (4)   $ (x,y)\leftrightarrow(u,v)$: $ x=u+v$, $ y=uv$
    (5)   $ (x,y)\leftrightarrow(u,v)$: $ x=uv$, $ y=u^2-v^2$
    (6)   $ (x,y,z)\leftrightarrow(u,v,w)$: $ x=u-2w$, $ y=v-w+1$, $ z=u-w+2$


平成21年12月2日