2.34 テイラー展開

1 変数関数 $ f(x)$ のテイラー展開は,点 $ a$ のまわりで $ x$ について 展開すると

  $\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2+\cdots+ \frac{1}{n!}f^{(n)}(a)(x-a)^n+ R_{n+1}(x),$    
  $\displaystyle \qquad R_{n+1}(x)= \frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\xi)(x-a)^{n+1}, \quad \xi=a+(x-a)\theta \quad (0<\theta<1)$    

である.$ x=a+h$ とおいて,点 $ a$ のまわりで $ a+h$ についての 展開に書き直すと

  $\displaystyle f(a+h)=f(a)+h f'(a)+\frac{h^2}{2}f''(a)+\cdots+ \frac{h^n}{n!}f^{(n)}(a)+R_{n+1}, \quad R_{n+1}=\frac{h^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(a+\theta h)$    

となる.

2 変数関数 $ f(x,y)$ のテイラー展開では, 点 $ (a,b)$ のまわりで点 $ (x,y)=(a+h,b+k)$ についての 展開を考える. まず,関数

$\displaystyle F(t)=f(a+ht,b+kt)$    

を導入する.これを $ t=0$ のまわりでテイラー展開すると

$\displaystyle F(t)=\sum_{n=0}^{N}\frac{F^{(n)}(0)}{n!}t^n+R_{N+1}, \qquad R_{N+1}=\frac{F^{(N+1)}(\theta t)}{(N+1)!}t^{N+1}$    

となる.微係数を求める.$ F(t)$ の導関数は

$\displaystyle F'(t)$ $\displaystyle = af_{x}(a+ht,b+kt)+ af_{y}(a+ht,b+kt)$    
  $\displaystyle = \left(a\frac{\partial}{\partial x}+ b\frac{\partial}{\partial y}\right) f(a+ht,b+kt),$    
$\displaystyle F''(t)$ $\displaystyle = a^2f_{xx}(a+ht,b+kt)+ 2abf_{xy}(a+ht,b+kt)+ b^2f_{yy}(a+ht,b+kt)$    
  $\displaystyle = \left( a^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}+ 2ab\frac{\partial^2}...
...frac{\partial}{\partial x}+ b\frac{\partial}{\partial y}\right)^2 f(a+ht,b+kt),$    
  $\displaystyle \qquad\cdots$    
$\displaystyle F^{(n)}(t)$ $\displaystyle = \left(a\frac{\partial}{\partial x}+ b\frac{\partial}{\partial y}\right)^n f(a+ht,b+kt)$    

であるから,

$\displaystyle F^{(n)}(0)$ $\displaystyle = \left(a\frac{\partial}{\partial x}+ b\frac{\partial}{\partial y...
...^{n-j}b^{j}}{(n-j)!j!} \frac{\partial^n f(a,b)}{\partial x^{n-j}\partial y^{j}}$    
  $\displaystyle = n! \sum_{i+j=n} \frac{a^{i}b^{j}}{i!j!} \frac{\partial^n f(a,b)}{\partial x^{i}\partial y^{j}}$    

を得る.これを用いると,

$\displaystyle F(1)$ $\displaystyle =f(a+t,b+t)= \sum_{n=0}^{N}\frac{F^{(n)}(0)}{n!}+R_{N+1}= \sum_{n...
...{i}b^{j}}{i!j!} \frac{\partial^n f(a,b)}{\partial x^{i}\partial y^{j}}+R_{N+1},$    
$\displaystyle \qquad R_{N+1}$ $\displaystyle = \sum_{i+j=N+1} \frac{a^{i}b^{j}}{i!j!} \frac{\partial^{N+1} f(a+\theta h,b+\theta k)} {\partial x^{i}\partial y^{j}}$    

を得る.

定理 2.148 (テイラー展開)   関数 $ f(x,y)$$ n+1$ 回微分可能なとき, 点 $ (a,b)$ のまわりで点 $ (x,y)=(a+h,b+k)$ についての テイラー展開(Taylor expansion)は,

$\displaystyle f(a+h,b+k)$ $\displaystyle = \sum_{i=0}^{n} \frac{1}{i!} \left(h\frac{\partial}{\partial x}+...
...\frac{h^lk^m}{l!m!} \frac{\partial^i f(a,b)}{\partial x^l\partial y^m}+R_{n+1},$    
$\displaystyle f(x,x)$ $\displaystyle = \sum_{i=0}^{n}\sum_{l+m=i \atop 0\leq l,m\leq i}\!\! \frac{1}{l!m!} \frac{\partial^i f(a,b)}{\partial x^l\partial y^m} (x-a)^l(y-b)^m+R_{n+1}$    

である与えられる.ただし,$ R_{n+1}$剰余項(remainder)であり,

$\displaystyle R_{n+1}$ $\displaystyle = \frac{1}{(n+1)!} \left(h\frac{\partial}{\partial x}+ k\frac{\pa...
...k^m}{l!m!} \frac{\partial^i f(a+\theta h,b+\theta k)}{\partial x^l\partial y^m}$    

と与えられる.ただし, $ 0<\theta<1$ である.

注意 2.149 (テイラー展開)   テイラー展開をベクトル表記すると

$\displaystyle f(\vec{a}+\vec{h})=f(\vec{a})+\nabla f(\vec{a})\vec{h}+ \frac{1}{2}\vec{h}^{T}\nabla^2 f(\vec{a})\vec{h}+R_{3}$    

と書ける.ただし,

$\displaystyle \vec{a}= \begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}, \quad \vec{h}= \beg...
...al^2 f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{bmatrix}$    

であり,$ H$$ f$ヘッセ行列(Hesse matrix)という.

2.150 (テイラー展開)   関数 $ f(x,y)$ を点 $ (a,b)$ のまわりで点 $ (a+h,b+k)$ について $ 3$ 次まで展開し,$ 4$ 次以降を剰余項で表すと

  $\displaystyle f(a+h,b+k)=f(a,b)+hf_x(a,b)+kf_y(a,b)+ \frac{h^2}{2}f_{xx}(a,b)+ hkf_{xy}(a,b)+ \frac{k^2}{2}f_{yy}(a,b)$    
  $\displaystyle \qquad\qquad\qquad+ \frac{h^3}{3!}f_{xxx}(a,b)+ \frac{h^2k}{2}f_{xxy}(a,b)+ \frac{hk^2}{2}f_{xyy}(a,b)+ \frac{k^3}{3!}f_{yyy}(a,b)+R_{4},$    
  $\displaystyle \quad R_4= \frac{h^4}{4!}f_{xxxx}(a+\theta h,b+\theta k)+ \frac{h...
...xxy}(a+\theta h,b+\theta k)+ \frac{h^2k^2}{2!2!}f_{xxyy}(a+\theta h,b+\theta k)$    
  $\displaystyle \qquad\qquad\qquad\qquad+ \frac{hk^2}{3!}f_{xyyy}(a+\theta h,b+\theta k)+ \frac{k^4}{4!}f_{yyyy}(a+\theta h,b+\theta k)$    

となる.

2.151 (テイラー展開)   関数 $ f(x,y)=x^2y+4y-5$ を点 $ (1,-1)$ のまわりで 点 $ (x,y)$ についてテイラー展開する. まず,偏導関数は

  $\displaystyle f_x=2xy,\quad f_y=x^2+4,\quad f_{xx}=2y,\quad f_{xy}=2x,\quad f_{yy}=0,$    
  $\displaystyle f_{xxx}=0,\quad f_{xxy}=2,\quad f_{xyy}=0,\quad f_{yyy}=0,\quad f_{xxxx}=0,\quad\cdots$    

である.$ 4$ 階以降の偏導関数はすべて 0 となる. また,点 $ (1,-1)$ における偏微係数は

  $\displaystyle f(1,-1)=-10,\quad f_x(1,-1)=-2,\quad f_y(1,-1)=5,$    
  $\displaystyle f_{xx}(1,-1)=-2,\quad f_{xy}(1,-1)=2,\quad f_{yy}(1,-1)=0,$    
  $\displaystyle f_{xxx}(1,-1)=0,\quad f_{xxy}(1,-1)=2,\quad f_{xyy}(1,-1)=0,\quad f_{yyy}(1,-1)=0,$    
  $\displaystyle f_{xxxx}(1,-1)=0,\quad,\cdots$    

である.これを用いるとテイラー展開は

  $\displaystyle f(x,y)= f(1,-1)+ f_{x}(1,-1)(x-1)+ f_{y}(1,-1)(y+1)$    
  $\displaystyle \qquad+ \frac{1}{2}f_{xx}(1,-1)(x-1)^2+ f_{xy}(1,-1)(x-1)(y+1)+ \frac{1}{2}f_{xx}(1,-1)(y+1)^2$    
  $\displaystyle \qquad+ \frac{1}{3!}f_{xxx}(1,-1)(x-1)^3+ \frac{1}{2}f_{xxy}(1,-1)(x-1)^2(y+1)+ \frac{1}{2}f_{xyy}(1,-1)(x-1)(y+1)^2$    
  $\displaystyle \qquad+ \frac{1}{3!}f_{yyy}(1,-1)(y+1)^3+ \frac{1}{4!}f_{xxxx}(1,-1)(x-1)^4+0+0+\cdots$    

より,

$\displaystyle f(x,y)=-10-2(x-1)+5(y+1)-(x-1)^2+2(x-1)(y+1)+(x-1)^2(y+1)$    

となる. 多項式のテイラー展開は,多項式を単に変形した形となる.

2.152 (テイラー展開)   関数 $ f(x,y)=e^{x+2y}$ を点 $ (0,0)$ まわりで 点 $ (h,k)$ についてテイラー展開する. まず,偏導関数は

  $\displaystyle f_{x}=e^{x+2y},\quad f_{y}=2e^{x+2y},\quad f_{xx}=e^{x+2y},\quad f_{xy}=2e^{x+2y},\quad f_{yy}=4e^{x+2y},$    
  $\displaystyle f_{xxx}=e^{x+2y},\quad f_{xxy}=2e^{x+2y},\quad f_{xyy}=4e^{x+2y},\quad f_{yyy}=8e^{x+2y}$    

である.

  $\displaystyle f(0,0)=1,\quad f_{x}(0,0)=1,\quad f_{y}(0,0)=2,$    
  $\displaystyle f_{xx}(\theta h,\theta k)=e^{\theta h+2\theta k},\quad f_{xy}(\th...
...2e^{\theta h+2\theta k},\quad f_{yy}(\theta h,\theta k)=4e^{\theta h+2\theta k}$    

となるから,$ 1$ 次項までのテイラー展開は

$\displaystyle f(h,k)$ $\displaystyle =f(0,0)+hf_x(0,0)+kf_y(0,0)+ \frac{h^2}{2}f_{xx}(\theta h,\theta k)+ hkf_{xy}(\theta h,\theta k)+ \frac{k^2}{2}f_{yy}(\theta h,\theta k)$    
  $\displaystyle =1+h+2k+\left(\frac{h^2}{2}+2hk+2k^2\right)e^{\theta h+2\theta k} \quad(0<\theta<1)$    

となる. 同様にして,

  $\displaystyle f(0,0)=1,\quad f_{x}(0,0)=1,\quad f_{y}(0,0)=2,\quad f_{xx}(0,0)=1,\quad f_{xy}(0,0)=2,\quad f_{yy}(0,0)=4,$    
  $\displaystyle f_{xxx}(\theta h,\theta k)=e^{\theta h+2\theta k},\quad f_{xxy}(\...
...e^{\theta h+2\theta k},\quad f_{xyy}(\theta h,\theta k)=8e^{\theta h+2\theta k}$    

となるから,$ 2$ 次項までのテイラー展開は

$\displaystyle f(h,k)$ $\displaystyle =f(0,0)+hf_x(0,0)+kf_y(0,0)+ \frac{h^2}{2}f_{xx}(0,0)+ hkf_{xy}(0,0)+ \frac{k^2}{2}f_{yy}(0,0)$    
  $\displaystyle \qquad+ \frac{h^3}{6}f_{xxx}(\theta h,\theta k)+ \frac{h^2k}{2}f_...
...c{hk^{2}}{2}f_{xyy}(\theta h,\theta k)+ \frac{k^3}{6}f_{yyy}(\theta h,\theta k)$    
  $\displaystyle =1+h+2k+\frac{h^{2}}{2}+2hk+2k^{2}+ \left(\frac{h^3}{6}+h^{2}k+2hk^{2}+\frac{4k^{3}}{3}\right)e^{\theta h+2\theta k} \quad(0<\theta<1)$    

となる.

2.153 (テイラー展開)   関数 $ f(x,y)=\sin(xy)$ を点 $ (\frac{\pi}{2},1)$ のまわりで 点 $ (x,y)$ についてテイラー展開する. まず,

  $\displaystyle f_x=y\cos(xy),\quad f_y=x\cos(xy),$    
  $\displaystyle f_{xx}=-y^2\sin(xy),\quad f_{xy}=\cos(xy)-xy\sin(xy),\quad f_{yy}=-x^2\sin(xy)$    

より,

  $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2},1\right)=1,\quad f_x\left(\frac{\pi}{2},1\right)=0,\quad f_y\left(\frac{\pi}{2},1\right)=0,$    
  $\displaystyle f_{xx}\left(\frac{\pi}{2},1\right)=-1,\quad f_{xy}\left(\frac{\pi...
...right)=-\frac{\pi}{2},\quad f_{yy}\left(\frac{\pi}{2},1\right)=-\frac{\pi^2}{4}$    

となるので,テイラー展開は

$\displaystyle f(x,y)$ $\displaystyle =f\left(\frac{\pi}{2},1\right)+ f_x\left(\frac{\pi}{2},1\right)\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+ f_y\left(\frac{\pi}{2},1\right)(y-1)$    
  $\displaystyle \quad+ \frac{1}{2} f_{xx}\left(\frac{\pi}{2},1\right)\left(x-\fra...
...i}{2}\right)(y-1)+ \frac{1}{2} f_{yy}\left(\frac{\pi}{2},1\right)(y-1)^2+\cdots$    
  $\displaystyle =1-\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2- \frac{\pi}{2}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)(y-1)- \frac{\pi^2}{8}(y-1)^2+\cdots$    

である.展開を途中で打ち切ると $ f(x,y)$$ 2$ 次の近似式 $ f_2(x,y)$

$\displaystyle f(x,y)\simeq f_2(x,y)= 1-\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2- \frac{\pi}{2}\left(x-\frac{\pi}{2}\right)(y-1)- \frac{\pi^2}{8}(y-1)^2$    

と得られる.

2.154 (テイラー展開)   関数 $ \displaystyle{f(x,y)=\log(1+x+y)}$ の マクローリン展開を求める. まず,

  $\displaystyle f_x=\frac{1}{1+x+y},\quad f_y=\frac{1}{1+x+y},$    
  $\displaystyle f_{xx}=\frac{-1}{(1+x+y)^2},\quad f_{xy}=\frac{-1}{(1+x+y)^2},\quad f_{yy}=\frac{-1}{(1+x+y)^2},$    
  $\displaystyle f_{xxx}=\frac{2}{(1+x+y)^3},\quad f_{xxy}=\frac{2}{(1+x+y)^3},\quad f_{xyy}=\frac{2}{(1+x+y)^3},\quad f_{yyy}=\frac{2}{(1+x+y)^3},$    
  $\displaystyle \cdots,\quad \frac{\partial^n f}{\partial x^n}= \frac{\partial^n ...
...y^{n-1}}= \frac{\partial^n f}{\partial y^n} =\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(1+x+y)^n}$    

より,

  $\displaystyle f(0,0)=0,\quad f_x(0,0)=1,\quad f_y(0,0)=1,\quad f_{xx}(0,0)=-1,\quad f_{xy}(0,0)=-1,\quad f_{yy}(0,0)=-1,$    
  $\displaystyle \cdots,\quad \frac{\partial^n f(0,0)}{\partial x^n}= \frac{\parti...
...al x\partial y^{n-1}}= \frac{\partial^n f(0,0)}{\partial y^n} =(-1)^{n-1}(n-1)!$    

となるので,マクローリン展開は

  $\displaystyle f(x,y)=f(0,0)+ f_x(0,0)x+f_y(0,0)y+\cdots+ \sum_{l=0}^{n}\frac{1}...
...} \frac{\partial^{n}f(0,0)}{\partial x^{n-l}\partial y^{l}} x^{n-l}y^{l}+\cdots$    
  $\displaystyle =x+y-\frac{x^2}{2}-xy-\frac{y^2}{2}+ \frac{1}{3}x^3+x^2y+xy^2+\fr...
...^3+\cdots+ \sum_{l=0}^{n}\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{(n-l)!\,l!}x^{n-l}y^{l}+\cdots$    

と得られる.


平成21年12月2日