2.35 $n$ 変数関数のテイラー展開

定理 2.155 (テイラー展開)   関数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ の点 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ まわりでの 点 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)=(a_1+h_1,a_2+h_2,\cdots,a_n+h_n)$ について テイラー展開は

$$f(\vec{a}+\vec{h}) = \sum_{i=1}^{\nu}\frac{1}{i!} \left( h_1\frac{\partial}{\partial... ...x_2}+ \cdots+ h_n\frac{\partial}{\partial x_n}\right)^{i} f(\vec{a})+R_{\nu+1},$$

$$= \sum_{i=1}^{\nu} \sum_{l_1+l_2+\cdots+l_n=i \atop 0\leq l_j\leq... ...partial x_1{}^{l_1}\partial x_2{}^{l_2}\cdots \partial x_n{}^{l_n}}+ R_{\nu+1},$$

$$f(\vec{x}) = \sum_{i=1}^{\nu} \sum_{l_1+l_2+\cdots+l_n=i \atop 0\leq l_j\leq... ...tial x_n{}^{l_n}} (x_1-a_1)^{l_1}(x_2-a_2)^{l_2}\cdots(x_n-a_n)^{l_n}+R_{\nu+1}$$

となる．

平成21年12月2日