2.36 平均値の定理

定理 2.156 (平均値の定理)   関数 $ f(x)$ が連続かつ微分可能であるとき,

$\displaystyle \frac{f(a_2)-f(a_1)}{a_2-a_1}=f'(\xi), \qquad a_1<\xi<a_2$    

をみたす $ \xi$ が存在する.

定理 2.157 (平均値の定理)   関数 $ f(x,y)$ が連続かつ全微分可能であるとき,

$\displaystyle f(a_2,b_2)-f(a_1,b_1)= f_x(\xi,\eta)(a_2-a_1)+f_y(\xi,\eta)(b_2-b_1), \qquad a_1<\xi<a_2, \quad b_1<\eta<b_2$    

をみたす $ \xi$, $ \eta$ が存在する.

2.158 (平均値の定理)   次の等式が成り立つことを示せ.

$\displaystyle \log\frac{x+y}{2}=\frac{x+y-2}{x+y-\theta(x+y-2)}, \qquad 0<\theta<1, \quad x>0, \quad y>0$    




平成21年12月2日