2.44 1 変数関数の極値
定義 2.200 (極値) 関数が, 点
とその任意の近傍の点
に対して
をみたすとき,は点
で 極大値
をとるという. また,
をみたすとき,は点
で 極小値
をとるという. 極大値,極小値を総称して極値という.
定理 2.201 (極値の必要条件) 関数が点
で極値をとるとき,
が成り立つ. (注意)逆は成り立たない.
(証明) 関数
を点
のまわりで
についてテイラー展開すると,
となる.これより,
が成り立つ. 右辺の第 1 項目はのとき
のときで符号が反転し, 右辺全体の符号も反転する. 任意の近傍の点において
または
をみたすときのみ極値をとるので, 第 1 項目が 0 となる必要があり,
が極値をもつ必要条件となる.
定理 2.202 (極大,極小) 関数が点
において,
,
をみたすとき
は極小値となる.
,
をみたすとき
は極大値となる. (注意)
のときは別途調べる.
(証明) 前述の定理より明らか.
例 2.203 (極値) 関数の極値を考える.
より
,
が極値をもつ候補の点となる.
と
のまわりでテイラー展開すると,
となる.これより,それぞれ
を得る. よって,は極大値,
は極小値となる.
例 2.204 (極値) 関数を考える.
より,
が極値の候補となる.
のまわりでテイラー展開すると,
となる.これより,
が成り立つ.のとき右辺は正,
のとき右辺は負となるので,
は極値とはならない.
例 2.205 (極値) 関数を考える.
より,
が極値の候補となる.
のまわりでテイラー展開すると,
となる.これより,
が成り立つ. よって,は極小値となる.
平成21年12月2日