2.45 2 変数関数の極値

定義 2.206 (極値)   関数 $f(x,y)$ が， 点 $(a,b)$ とその任意の近傍の点 $(a+h,b+k)$ に対して

$$f(a,b)>f(a+h,b+k)$$

をみたすとき，$f(x,y)$ は点 $(a,b)$ で 極大値 $f(a,b)$ をとるという． また，

$$f(a,b)<f(a+h,b+k)$$

をみたすとき，$f(x,y)$ は点 $(a,b)$ で 極小値 $f(a,b)$ をとるという． 極大値，極小値を総称して極値という．

定理 2.207 (極値の必用条件)   関数 $f(x,y)$ が点 $(a,b)$ で極値をとるとき，

$$f_x(a,b)=0, \qquad f_y(a,b)=0$$

が成り立つ． （注意）逆は成り立たない．

（証明）     平面 $y=b$ と曲面 $z=f(x,y)$ との共有点からなる曲線 $z=f(x,b)$ は $x$ についての 1 変数関数であり， $f(x,y)$ が極値をとるとき $f(x,b)$ も極値をとる． よって， $f_x(a,b)=0$ となる． 同様にして，平面 $x=a$ を考えると $f_y(a,b)=0$ を得る．

注意 2.208 (極値と接平面)   関数 $f(x,y)$ は点 $(a,b)$ で極値をとるとする． このとき $f_{x}(a,b)=0$, $f_{y}(a,b)=0$ であるから， $f(x,y)$ を点 $(a,b)$ のまわりでテイラー展開すると

$$f(x,y) =f(a,b)+ \frac{1}{2}f_{xx}(a,b)(x-a)^2+ f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b)+ \frac{1}{2}f_{yy}(a,b)(y-b)^2+\cdots$$

となり，1 次の項は存在しない． また， 曲面 $z=f(x,y)$ の点 $(a,b)$ における接平面の方程式は

$$z=f(a,b)$$

となり，法線ベクトルは

$$\vec{n}= \begin{bmatrix}f_x(a,b) \\ f_y(a,b) \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$$

である．接平面は $xy$ 平面に平行である．

例 2.209 (極値の計算例)   関数 $f(x,y)=x^2+y^2$ の極値を考える． 連立方程式

$$f_x(x,y)=2x=0, \quad f_y(x,y)=2y=0$$

を解くと候補の点 $(x,y)=(0,0)$ を得る． このとき点 $(0,0)$ とその任意の近傍の点 $(h,k)$ に対して，

$$f(h,k)-f(0,0)=h^2+k^2>0 \quad\Rightarrow\quad f(h,k)>f(0,0)$$

が成り立つ． よって関数 $f(x,y)$ は極小値 $f(0,0)=0$ をとる．

例 2.210 (極値の計算例)   関数 $f(x,y)=x^4+y^4$ の極値を考える． 連立方程式

$$f_x(x,y)=4x^3=0, \quad f_y(x,y)=4y^3=0$$

を解くと候補の点 $(x,y)=(0,0)$ を得る． このとき点 $(0,0)$ とその任意の近傍の点 $(h,k)$ に対して，

$$f(h,k)-f(0,0)=h^4+k^4>0 \quad\Rightarrow\quad f(h,k)>f(0,0)$$

が成り立つ． よって関数 $f(x,y)$ は極小値 $f(0,0)=0$ をとる．

例 2.211 (鞍点)   関数 $f(x,y)=x^2-y^2$ の極値を考える． 連立方程式

$$f_x(x,y)=2x=0, \quad f_y(x,y)=-2y=0$$

を解くと候補の点 $(x,y)=(0,0)$ を得る． このとき，

$$f(h,k)-f(0,0)=h^2-k^2$$

が成り立つ． 点 $(0,0)$ と $x$ 軸方向にずれた近傍の点 $(h,0)$ に対しては，

$$f(h,0)-f(0,0)=h^2>0 \quad\Rightarrow\quad f(h,0)>f(0,0)$$

となり，$f(0,0)$ は極小となる． 一方， 点 $(0,0)$ と $y$ 軸方向にずれた近傍の点 $(0,k)$ に対しては，

$$f(0,k)-f(0,0)=-k^2<0 \quad\Rightarrow\quad f(0,k)<f(0,0)$$

となり，$f(0,0)$ は極大となる． よって，$f(0,0)=0$ は極値とはならない． このようにある方向では極小であり， また別の方向では極大となる点のことを 鞍点（saddle point）という．

例 2.212 (極値の計算例)   関数 $f(x,y)=x^2+y^3$ の極値を求める． 連立方程式

$$f_x=2x=0, \qquad f_y=3y^2=0$$

を解くと極値の候補として $(x,y)=(0,0)$ を得る．このとき，

$$f(h,k)-f(0,0)=h^2+k^3$$

が成り立つ．$h^2$ は常に正であるが， $k^3$ は $k>0$ のとき正，$k<0$ のとき負となる． 右辺全体では正，負が決定しない． よって，$f(0,0)=0$ は極値ではない．

例 2.213 (極値の計算例)   関数 $f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y+10$ の極値を求める． 連立方程式

$$f_x=2x-2=0, \qquad f_y=2y+4=0$$

を解くと極値の候補として $(x,y)=(1,-2)$ を得る． $(x,y)=(1,-2)$ のまわりでテイラー展開すると，

$$f(1+h,-2+k)= f(1,-2)+h^2+k^2+o(\rho^2)$$

となる．よって，

$$f(1+h,-2+k)-f(1,-2)=h^2+k^2+o(\rho^2)>0 \quad\Rightarrow\quad f(1+h,-2+k)>f(1,-2)$$

が成り立つ． $f(1,-2)=5$ は極小値となる．

例 2.214 (極値の計算例)   関数 $f(x,y)=x^3+y^3+3xy+2$ の極値を求める． 連立方程式

$$f_x=3x^2+3y=0, \qquad f_y=3y^2+3x=0$$

を解く． 第 1 式を $y=-x^2$ と変形して第 2 式に代入すると

$$x(x^3+1)=0$$

となる．これを解くと，極値の候補として

$$(x,y)=(0,0), (-1,-1)$$

を得る． $(x,y)=(0,0)$ のまわりでテイラー展開すると，

$$f(h,k)=f(0,0)+3hk+o(\rho^2)$$

となる．よって，

$$f(h,k)-f(0,0)=3hk+o(\rho^2)$$

の右辺は $h>0$, $k>0$ のときは正， $h<0$, $k>0$ のときは負となり， 符号が定まらない． $f(0,0)=0$ は極値ではない． $(x,y)=(-1,-1)$ のまわりでテイラー展開すると，

$$f(-1+h,-1+k)=f(-1,-1)-3h^2+3hk-3k^2+o(\rho^2)$$

となる． これより，

$$f(-1+h,-1+k)-f(-1,-1)= -3\left(\left(h-\frac{k}{2}\right)^2+\frac{3}{4}k^2 \right)+o(\rho^2)<0$$

$$\quad\Rightarrow\quad f(-1+h,-1+k)<f(-1,-1)$$

が成り立つ． $f(-1,-1)=3$ は極大値となる．

例 2.215 (極値の計算例)   関数 $f(x,y)=x^2-2xy+y^2-x^4-y^4$ の極値を求める． 連立方程式

$$f_x=2x-2y-4x^3=0, \qquad f_y=-2x+2y-4y^3=0$$

を解く． 第 1 式と第 2 式を足し合わせると $-4(x^3+y^3)=-4(x+y)(x^2-xy+y^2)=0$ であるから， $y=-x$ である． これを第 1 式に代入すると， $4x(1-x^3)=0$ であるから， $x=0,1,-1$ となる． よって，極値の候補は

$$(x,y)=(0,0),(1,-1),(-1,1)$$

である． それぞれの点のまわりで 2 次までテイラー展開する．

$$f_{xx}=2-12x^2, \quad f_{xy}=-2, \quad f_{yy}=2-12y^2$$

より， $(x,y)=(0,0)$ のときは，

$$f(h,k)-f(0,0)=\frac{1}{2}f_{xx}(0,0)h^2+f_{xy}(0,0)hk+\frac{1}{2}f_{yy}(0,0)k^2+\cdots$$

$$=h^2-2hk+k^2+\cdots=(h-k)^2+\cdots$$

となる． よって $h\neq k$ のときは $f(h,k)-f(0,0)>0$ が成立する． $h=k$ のときは 2 次の項が消えるので， さらに高次の項まで展開する必要がある．

$$f_{xxx}=-24x,\quad f_{xxy}=0,\quad f_{xyy}=0,\quad f_{yyy}=-24y,\quad$$

$$f_{xxxx}=-24,\quad f_{xxxy}=0,\quad f_{xxyy}=0,\quad f_{xyyy}=0,\quad f_{yyyt}=-24$$

より， 4 次の項まで展開すると，

$$f(h,k)-f(0,0)= h^2-2hk+k^2+\frac{-24}{4!}h^4+\frac{-24}{4!}k^4+\cdots= (h-k)^2-(h^4+k^4)+\cdots$$

となる． $h=k$ のとき， $f(h,k)-f(0,0)<0$ が成立する． $h\neq k$ と $h=k$ のときでは符号が異なるので， $f(0,0)$ は極値ではない． 次に， $(x,y)=(\pm 1,\mp 1)$ （復号同順）のときは，

$$f(h,k)-f(\pm 1,\mp1)= \frac{1}{2}f_{xx}(\pm 1,\mp 1)h^2+ f_{xy}(\pm 1,\mp 1)hk+ \frac{1}{2}f_{yy}(\pm 1,\mp 1)k^2+\cdots$$

$$=-5h^2-2hk-5k^2+\cdots= -5\left( \left( h+\frac{k}{5} \right)^2 + \frac{24}{25}k^2 \right) +\cdots >0$$

となる． よって， $f(h,k)>f(\pm1,\mp1)$ が成立し， $f(\pm1,\mp1)=2$ は極大値となる．

例 2.216 (極値の計算例)   関数 $f(x,y)=\sinh(xy)$ の極値を求める． 連立方程式

$$f_x=y\cosh(xy)=0, \qquad f_y=x\cosh(xy)=0$$

を解く． $(x,y)=(0,0)$ が極値の候補となる． $(x,y)=(0,0)$ のまわりでテイラー展開すると，

$$f(h,k)=f(0,0)+hk+o(\rho^2)$$

となる．よって，

$$f(h,k)-f(0,0)=hk+o(\rho^2)$$

の右辺の符号は定まらない． $f(0,0)=0$ は極値ではない．

平成21年12月2日