2.45 2 変数関数の極値
定義 2.206 (極値) 関数が, 点
とその任意の近傍の点
に対して
をみたすとき,は点
で 極大値
をとるという. また,
をみたすとき,は点
で 極小値
をとるという. 極大値,極小値を総称して極値という.
定理 2.207 (極値の必用条件) 関数が点
で極値をとるとき,
が成り立つ. (注意)逆は成り立たない.
(証明) 平面
と曲面
との共有点からなる曲線
は
についての 1 変数関数であり,
が極値をとるとき
も極値をとる. よって,
となる. 同様にして,平面
を考えると
を得る.
注意 2.208 (極値と接平面) 関数は点
で極値をとるとする. このとき
,
であるから,
を点
のまわりでテイラー展開すると
となり,1 次の項は存在しない. また, 曲面の点
における接平面の方程式は
となり,法線ベクトルは
である.接平面は平面に平行である.
例 2.209 (極値の計算例) 関数の極値を考える. 連立方程式
を解くと候補の点を得る. このとき点
とその任意の近傍の点
に対して,
が成り立つ. よって関数は極小値
をとる.
例 2.210 (極値の計算例) 関数の極値を考える. 連立方程式
を解くと候補の点を得る. このとき点
とその任意の近傍の点
に対して,
が成り立つ. よって関数は極小値
をとる.
例 2.211 (鞍点) 関数の極値を考える. 連立方程式
を解くと候補の点を得る. このとき,
が成り立つ. 点と
軸方向にずれた近傍の点
に対しては,
となり,は極小となる. 一方, 点
と
軸方向にずれた近傍の点
に対しては,
となり,は極大となる. よって,
は極値とはならない. このようにある方向では極小であり, また別の方向では極大となる点のことを 鞍点(saddle point)という.
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例 2.212 (極値の計算例) 関数の極値を求める. 連立方程式
を解くと極値の候補としてを得る.このとき,
が成り立つ.は常に正であるが,
は
のとき正,
のとき負となる. 右辺全体では正,負が決定しない. よって,
は極値ではない.
例 2.213 (極値の計算例) 関数の極値を求める. 連立方程式
を解くと極値の候補としてを得る.
のまわりでテイラー展開すると,
となる.よって,
が成り立つ.は極小値となる.
例 2.214 (極値の計算例) 関数の極値を求める. 連立方程式
を解く. 第 1 式をと変形して第 2 式に代入すると
となる.これを解くと,極値の候補として
を得る.のまわりでテイラー展開すると,
となる.よって,
の右辺は,
のときは正,
,
のときは負となり, 符号が定まらない.
は極値ではない.
のまわりでテイラー展開すると,
となる. これより,
が成り立つ.は極大値となる.
例 2.215 (極値の計算例) 関数の極値を求める. 連立方程式
を解く. 第 1 式と第 2 式を足し合わせるとであるから,
である. これを第 1 式に代入すると,
であるから,
となる. よって,極値の候補は
である. それぞれの点のまわりで 2 次までテイラー展開する.
より,のときは,
となる. よってのときは
が成立する.
のときは 2 次の項が消えるので, さらに高次の項まで展開する必要がある.
より, 4 次の項まで展開すると,
となる.のとき,
が成立する.
と
のときでは符号が異なるので,
は極値ではない. 次に,
(復号同順)のときは,
となる. よって,が成立し,
は極大値となる.
例 2.216 (極値の計算例) 関数の極値を求める. 連立方程式
を解く.が極値の候補となる.
のまわりでテイラー展開すると,
となる.よって,
の右辺の符号は定まらない.は極値ではない.
平成21年12月2日