2.46 2 変数関数の極大値と極小値の判定

定理 2.217 (極値)   関数 $ f(x,y)$ において点 $ (a,b)$ $ f_x(a,b)=0$, $ f_y(a,b)=0$ をみたすとき, $ f(a,b)$ が極値となるための判定条件は次の通りである. ただし,

$\displaystyle D(a,b)=f_{xy}(a,b)^2-f_{xx}(a,b)f_{yy}(a,b)$    

とおく.
(i).
$ D(a,b)<0$, $ f_{xx}(a,b)>0$ のとき, $ f(x,y)$ は点 $ (a,b)$ で極小値をとる.
(ii).
$ D(a,b)<0$, $ f_{xx}(a,b)<0$ のとき, $ f(x,y)$ は点 $ (a,b)$ で極大値をとる.
(iii).
$ D(a,b)>0$ のとき, $ f(x,y)$ は点 $ (a,b)$ で極値をとらない.
(iv).
$ D(a,b)=0$ のとき,個別に判定する.


(証明)     点 $ (a,b)$ から点 $ (a+h,b+k)$ への増分を $ \Delta f(a,b)$ とする. $ f(a+k,b+k)$ をテイラー展開し, $ f_{x}(a,b)=0$, $ f_y(a,b)=0$ であることを 用いると,

$\displaystyle \Delta f(a,b)$ $\displaystyle =f(a+h,b+k)-f(a,b)= f_{xx}(a,b)h^2+2f_{xy}(a,b)hk+f_{yy}(a,b)k^2+o(\rho^2)$    
  $\displaystyle = \frac{1}{2}\left( \alpha h^2+2\beta hk+\gamma k^2 \right)+o(\rho^2)$    

と表される. ただし,簡単のために

$\displaystyle \alpha=f_{xx}(a,b),\quad \beta=f_{xy}(a,b),\quad \gamma=f_{y}(a,b)$    

とおいた. $ \Delta f(a,b)$$ h$ の 2 次多項式

$\displaystyle 2\Delta f(a,b)=\alpha\,h^2+2(\beta k)h+(\gamma k^2)+o(\rho^2)$    

であるとみると,この判別式は

$\displaystyle \tilde{D}=(\beta k)^2-\alpha(\gamma k^2)=k^2(\beta^2-\alpha\gamma)=k^2D$    

である.よって,

  $\displaystyle D<0,\quad \alpha>0 \quad\Rightarrow\quad \Delta f(a,b)>0 \quad\Rightarrow\quad f(a+h,b+k)>f(a,b) \quad\Rightarrow$   $ f(a,b)$ は極小値    
  $\displaystyle D<0,\quad \alpha<0 \quad\Rightarrow\quad \Delta f(a,b)<0 \quad\Rightarrow\quad f(a+h,b+k)<f(a,b) \quad\Rightarrow$   $ f(a,b)$ は極大値    

が成り立つ. $ D$ が正のとき $ h$ に応じて $ \Delta f(a,b)$ は正と負と両方の値をとりうる. よって,$ f(a,b)$ は極値とはならない. また,$ k$ の 2 次多項式と考えたときも同様の結果を得る.

2.218 (極値の計算例)   関数 $ f(x,y)=x^2+y^2$ の極値を求める. 連立方程式

$\displaystyle f_x=2x=0, \qquad f_y=2y=0$    

を解くと極値の候補として $ (x,y)=(0,0)$ を得る.このとき,

  $\displaystyle f_{xx}=2>0, \quad f_{xy}=0, \quad f_{yy}=2, \quad D=f_{xy}{}^2-f_{xx}f_{yy}=-4<0$    

となる. よって,$ f(0,0)=0$ は極小値である.

2.219 (極値の計算例)   関数 $ f(x,y)=x^2+y^3$ の極値を求める. 連立方程式

$\displaystyle f_x=2x=0, \qquad f_y=3y^2=0$    

を解くと極値の候補として $ (x,y)=(0,0)$ を得る.このとき,

  $\displaystyle f_{xx}(x,y)=2, \quad f_{xy}(x,y)=0, \quad f_{yy}(x,y)=6y, \quad D(x,y)=f_{xy}{}^2-f_{xx}f_{yy}=-12y$    

となる. $ D(0,0)=0$ であるから判別式 $ D$ を用いて極値となるかは判定できない. そこで,点 $ (0,0)$ と その近傍の点 $ (0,k)$, $ (0,-k)$ を考える. ただし, $ k>0$ とする. このとき,

$\displaystyle f(0,k)-f(0,0)=k^3>0 \quad$ $\displaystyle \Rightarrow\quad f(0,k)>f(0,0)$    
$\displaystyle f(0,-k)-f(0,0)=-k^3<0 \quad$ $\displaystyle \Rightarrow\quad f(0,-k)<f(0,0)$    

が成り立つ. 点 $ (0,0)$ から $ y$ 軸正の方向には増加傾向であり, $ y$ 軸負の方向には減少傾向となるので, $ f(0,0)=0$ は極値ではない.
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{kyokuchi.eps}

2.220 (極値の計算例)   関数 $ f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y+10$ の極値を求める. 連立方程式

$\displaystyle f_x=2x-2=0, \qquad f_y=2y+4=0$    

を解くと極値の候補として $ (x,y)=(1,-2)$ を得る.このとき,

  $\displaystyle f_{xx}=2>0, \quad f_{xy}=0, \quad f_{yy}=2, \quad D=f_{xy}{}^2-f_{xx}f_{yy}=-4<0$    

となる. よって,$ f(1,-2)=5$ は極小値である.

2.221 (極値の計算例)   関数 $ f(x,y)=x^3+y^3+3xy+2$ の極値を求める. 連立方程式

$\displaystyle f_x=3x^2+3y=0, \qquad f_y=3y^2+3x=0$    

を解く. 第 1 式を $ y=-x^2$ と変形して第 2 式に代入すると

$\displaystyle x(x^3+1)=0$    

となる.これを解くと,極値の候補として

$\displaystyle (x,y)=(0,0), (-1,-1)$    

を得る.このとき,

  $\displaystyle f_{xx}(x,y)=6x, \quad f_{xy}(x,y)=3, \quad f_{yy}(x,y)=6y, \quad D(x,y)=f_{xy}{}^2-f_{xx}f_{yy}= 9-36xy$    

を用いて極値であるか判定する. まず, $ (x,y)=(0,0)$ の場合. $ D(0,0)=9>0$ より $ f(0,0)=2$ は極値ではない. 次に, $ (x,y)=(-1,-1)$ の場合. $ D(-1,-1)=-27<0$, $ f_{xx}(-1,-1)=-6<0$ より, $ f(-1,-1)=3$ は極大値である.
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{kyokuchi2.eps}


平成21年12月2日