数列の極限

数列 $\{a_{n}\}$ が

$$1,\,\frac{1}{2},\,\frac{1}{3},\,\frac{1}{4},\,\frac{1}{5},\,\cdots,\, \frac{1}{n},\,\cdots$$ (16)

と与えられたとする． この数列 $\{a_{n}\}$ は $n$ が 大きくなるにつれて 0 にどんどんと近づいて行く． このことを数学的には， 数列 $\{a_{n}\}$ は 極限（limit）が存在し 0 に収束する（convergent）， という． 一般的には次のように表現する．

定義 1.13 (数列の極限)  

$$n$$ (17)

$$a_{n} a$$ (18)

$$\quad\Leftrightarrow \lim_{x\to\infty} a_{n} = a$$ (19)

$$\quad\Leftrightarrow a_{n}\to a \quad (a\to\infty)$$ (20)

$$\quad\Leftrightarrow a_{n} a$$ (21)

$$\quad\Leftrightarrow a_{n} a$$ (22)

収束しない場合を発散する（divergent）という．

注意 1.14 (数列の極限に関する注意)   数列（）は $a_{n}=1/n>0$ であるので， $a_{n}$ がいかに 0 に近づいたとしても， 決して 0 になることはない． $a_{n}\neq 0$ である． $${\lim_{n\to\infty}a_{n}}=0$$ の意味はあくまでも， 数列 $a_{n}$ は 0 に近づいて行く，という意味である．

Kondo Koichi
Created at 2002/09/12