1.25 点と直線との距離
定義 1.127 (点と直線との距離) 空間内の点 と直線 を考える. 点 と 上の点 との距離が最小となるとき, その距離を点と直線との距離という.
定理 1.128 (点と直線との距離) 空間内の 点 と直線 を考える. 点 と 上の点 との距離が最小となるのは, 直線 と直線 が直交するときである.
問 1.129 (点と直線との距離) これを示せ.(証明) 点 , とする. 点 を直線 上の点とする. すなわち とおく. 点 と の距離を考える.
(142) (143) (144) (145)
より のとき 最小値
(146)
をとる. このとき
(147) (148)
が成り立つ. と とは直交する. は直線 の方向ベクトルであり, は直線 の方向ベクトルである. よって距離が最小になるとき直線 と直線 は直交する.
例 1.130 (点と直線の距離) 点 , , において, 点 と直線 を考える. 点 から直線 への正射影は
であるら,距離は
より求まる.
定理 1.131 (点と直線の距離) 空間内の 点 と直線 との距離は
(149)
である.
問 1.132 (点と直線の距離) これを示せ.(証明その1) 問 の証明より のとき 点と直線の距離であるから, ()より明らか.
(証明その2) 点 の直線 への射影点 を考える. このとき
(150)
である. ここで は直線の単位方向ベクトルであり となることに注意する. 点 , との距離は
(151) (152) (153) (154) (155)
より得られる.
例 1.133 ( 内の点と直線の距離) 点 と直線 との 距離を考える.
(156)
であるから,距離は
(157)
である.
例 1.134 ( 内の点と直線の距離) 点 と直線 との 距離を考える. 点 から直線への射影した点を とする.
(158)
であるから,
(159) (160)
より,
(161)
である.点 と点 との距離が 点 と直線の距離であるから,
(162)
より
(163)
である.
Kondo Koichi KONDO Koichi
平成19年1月25日