6.18 三角関数の定積分

6.84 (三角関数の定積分)   自然数 $ n,m$ に対して

  $\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin nx\,dx=0\,,$    
  $\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\cos nx\,dx=0\,,$    
  $\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin nx\,\sin mx\,dx=\pi\delta_{n,m}\,,$    
  $\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\sin nx\,\cos mx\,dx=0\,,$    
  $\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\cos nx\,\cos mx\,dx=\pi\delta_{n,m}\,$    

となることを示せ(ヒント:積和の公式). ただし, $ \delta_{n,m}$クロネッカーのデルタ(Kronecker's delta) である.

6.85 (三角関数の定積分)   定積分

$\displaystyle I_{n}$ $\displaystyle = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n}x\,dx\,,\quad J_{n}= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}x\,dx\,\qquad (n=0,1,2,\cdots)$    

  $\displaystyle I_{n}=J_{n}= \frac{(n-1)!!}{n!!}\varepsilon_{n}\,,\qquad \varepsi...
...($n$: 偶数)} \\ [2ex] \displaystyle{1} & \text{($n$: 奇数)} \end{array} \right.$    

となることを示せ(ヒント: 例 [*]を用いよ).




平成19年10月3日