5.2 固有値と固有ベクトル

定義 5.1 (固有値問題)   $K$ ( $=\mathbb{R},\mathbb{C}$) 上の ベクトル空間 $V$ における線形変換 $f:V\to V$ が方程式

$$( )\qquad f(\vec{x})=\lambda\vec{x}, \qquad \vec{x}\neq0,\quad \lambda\in K$$

をみたすとする． このとき $\lambda$ を $f$ の固有値（eigenvalue）といい， $\vec{x}$ を固有値 $\lambda$ に属する $f$ の 固有ベクトル（eigenvector）という． また，方程式(☆)を固有方程式（eigen-equation）といい， この方程式の固有値と固有ベクトルを求める問題を 固有値問題（eigen-problem）という．

注意 5.2 (固有値問題)   線形変換 $f$ は必ず $f(\vec{0})=\lambda\vec{0}=\vec{0}$ をみたすので， 零ベクトル $\vec{0}$ は線形変換 $f$ によって 自分自身のスカラー $\lambda$ 倍に写される． このとき $\lambda$ は任意である． よって $\vec{0}$ は固有ベクトルと定義しない．

例 5.3 (単振動系の固有振動の問題)   重さ $m$ の剛体がバネ定数 $k$ のバネにつながれ 動摩擦係数 $\mu$ の床におかれている． バネの伸びを $x=x(t)$ とする． 剛体に外力 $\lambda x$ があるとき 運動方程式は

$$m\frac{d^2 x}{dt^2}+ \mu\frac{dx}{dt}+ kx= \lambda x$$

と表される．微分演算子を

$$f= m\frac{d^2}{dt^2}+ \mu\frac{d}{dt}+k$$

とおくと，

$$fx=\lambda x$$

と書ける． これは固有方程式である． この固有値問題を力学では 単振動系の固有振動の問題という．

例 5.4 (固有値，固有ベクトルの具体例)   線形変換 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$; $\vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$ を考える． ただし，

$$A= \begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$$

とする． このとき $\vec{x}=\vec{e}_1$, $\vec{x}=\vec{e}_2$ を代入すると

$$f(\vec{e}_1)=A\vec{e}_1= \begin{bmatrix}3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatr... ...matrix}0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 2 \end{bmatrix} = 2 \vec{e}_2$$

が成り立つ． よって線形変換 $f$ の固有値は $3$ と $2$ である． 固有値 $3$ に属する $f$ の固有ベクトルは $\vec{e}_1$ であり， 固有値 $2$ に属する $f$ の固有ベクトルは $\vec{e}_2$ である．

例 5.5 (固有値，固有ベクトルの具体例)   線形変換 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$; $\vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$ を考える． ただし，

$$A= \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}$$

とする． このとき $\vec{x}=\vec{p}_1=\begin{bmatrix}2 \\ 1 \end{bmatrix}$ を 代入すると

$$f(\vec{u})=A\vec{p}_1= \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 2 & -2 \end{bmatri... ...atrix}4 \\ 2 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix}2 \\ 1 \end{bmatrix} = 2\vec{p}_1$$

が成り立つ． よって $4$ は線形変換 $f$ の固有値である． $\vec{p}_1$ は固有値 $2$ に属する $f$ の固有ベクトルである． 次に $\vec{x}=\vec{p}_2=\begin{bmatrix}1 \\ -2 \end{bmatrix}$ を 代入すると

$$f(\vec{u})=A\vec{p}_2= \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 2 & -2 \end{bmatri... ...x}-3 \\ 6 \end{bmatrix} = -3 \begin{bmatrix}1 \\ -2 \end{bmatrix} = -3\vec{p}_2$$

が成り立つ． よって $-3$ は線形変換 $f$ の固有値である． $\vec{p}_2$ は固有値 $-3$ に属する $f$ の固有ベクトルである．

平成20年2月2日