5.3 固有空間
注意 5.6 (固有ベクトルの定数倍の任意性) 線形変換の固有値を
とし, 固有値
に属する固有ベクトルを
とする. つまり
が成り立つ. このとき,
の定数
倍の ベクトル
を考える. ベクトル
もまた
に属する
の固有ベクトル となる. なぜなら,
が成り立つからである. これより固有ベクトルには定数倍に任意性がある.
定義 5.7 (固有空間) ベクトル空間における線形変換
の 固有値を
とする. このとき
をの固有値
の固有空間(eigenspace)という.
注意 5.8 (固有空間) 固有ベクトルはを除外しているが, 固有空間では
を含むことに注意する.
定理 5.9 (固有空間は部分空間) 固有空間は
の部分空間である.
(証明) (i)
より
となる. (ii)
のとき
,
が成り立つ. このとき
,
に対して
が成り立つのでとなる. (iii)
のとき
が成り立つ. このとき
に対して
が成り立つのでとなる. 以上より(i), (ii), (iii)が成り立つので
は
の 部分空間である.
平成20年2月2日