5.4 行列の固有値

線形変換 $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$; $\vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$ に関する固有値 $\lambda$ を定める． 固有方程式は $f(\vec{x})=\lambda\vec{x}$ より

$$A\vec{x}=\lambda\vec{x}$$

となる．これを変形して

$$(\lambda E-A)\vec{x}=0$$

となる． 同次系であるから自明な解 $\vec{x}=\vec{0}$ を必ずもつが， 零ベクトルは固有ベクトルとはならない． よって同次方程式は非自明な解をもたなければならない． つまり任意定数を含む解をもてばよいので，

$$\mathrm{rank}\,(\lambda E-A)<n$$

であればよい． これと必要十分な条件は

$$( )\qquad \det(\lambda E-A)=0$$

である． 方程式(☆)により固有値 $\lambda$ が定まる． (☆)を固有方程式（eigen-equation）または 特性方程式（characteristic equation）という．

定義 5.10 (固有多項式)   正方行列 $A$ に対して

$$g_{A}(t)=\det(tE-A)$$

を行列 $A$ の固有多項式（eigen-polynomial）または 特性多項式（characteristic polynomial）という．

定義 5.11 (行列の固有値)   行列 $A$ に対する固有多項式 $g_A(t)$ の根を （複素数も含めて）行列 $A$ の固有値という．

注意 5.12 (行列の固有値の個数)   正方行列 $A:n\times n$ の固有値の個数は 重複を別のもととして数えると $n$ 個である．

定理 5.13 (線形変換の固有値と行列の固有値)   $\lambda$ が線形変換 $f$ の固有値であることと， $g_A(\lambda)=0$ が成り立つこととは， 必要十分条件である．

例 5.14 (行列の固有値の具体例)   行列

$$A= \begin{bmatrix}7 & -6 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$$

の固有多項式は

$$g_A(t) =\det(tE-A)= \det\left( \begin{bmatrix}t & 0 \\ 0 & t \end{bmatri... ...3 & -2 \end{bmatrix} \right) = \begin{vmatrix}t-7 & 6 \\ -3 & t+2 \end{vmatrix}$$

$$=t^2-5t+4 =(t-1)(t-4)$$

である． よって $A$ の固有値は $g_A(\lambda)=0$ より $\lambda=1$ と $\lambda=4$ である．

線形変換 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$; $\vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$ の 固有値は $\lambda=1$ と $\lambda=4$ である．

例 5.15 (行列の固有値の具体例)   行列

$$A= \begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

の固有多項式は

$$g_A(t) =\det(tE-A)= \det\left( \begin{bmatrix}t & 0 \\ 0 & t \end{bmatri... ...& 0 \end{bmatrix} \right) = \begin{vmatrix}t & 1 \\ -1 & t \end{vmatrix} =t^2+1$$

である． よって $A$ の固有値は $g_A(\lambda)=0$ より $\lambda=i$ と $\lambda=-i$ である．

線形変換 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$; $\vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$ の 固有値は存在しない． しかし，線形変換 $f:\mathbb{C}^2\to\mathbb{C}^2$; $\vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$ の 固有値は $\lambda=i$ と $\lambda=-i$ である．

平成20年2月2日