5.5 $\mathbb{R}^2$ における線形変換の固有空間

例 5.16 (線形変換の固有空間の具体例)   線形変換 $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$; $\vec{y}=f(\vec{x})=A\vec{x}$ の固有空間を求める． ただし，

$$A= \begin{bmatrix}8 & -10 \\ 5 & -7 \end{bmatrix}$$

とする． まず，固有多項式は

$$g_A(t)=\det(tE-A)= \begin{vmatrix}t-8 & 10 \\ -5 & t+7 \end{vmatrix} = t^2-t-6= (t-3)(t+2)$$

である．よって $g_A(\lambda)=0$ より 固有値は $\lambda=-2,3$ である．

固有ベクトルをそれぞれ求める． $\lambda=-2$ のとき $(\lambda E-A)\vec{x}=0$ より 方程式 $(-2E-A)\vec{x}=0$ をみたす $\vec{x}$ を求める． 行列 $-2E-A$ を簡約化すると

$$-2E-A= \begin{bmatrix}-10 & 10 \\ -5 & 5 \end{bmatrix} \quad\to\quad \begin{bmatrix}1 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

となる．これより $x_1-x_2=0$ であるから解は

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix... ...rix}c \\ c \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix} = c\,\vec{p}_1$$

となる．ただし $c$ は任意定数である． よって $\lambda=-2$ に属する固有ベクトルは $\vec{x}=c\vec{p}_1$ ($c\neq 0$) である． また，固有空間は固有ベクトル全体の集合に $\vec{0}$ を 加えたものであるから，

$$W(-2;f)= \left\{\left.\,{c\vec{p}_1}\,\,\right\vert\,\,{c\in\mathbb{R}}\,\right\} = \left\langle \vec{p}_1\right\rangle$$

となる．

$\lambda=3$ のとき $(\lambda E-A)\vec{x}=0$ より 方程式 $(3E-A)\vec{x}=0$ をみたす $\vec{x}$ を求める． 行列 $3E-A$ を簡約化すると

$$3E-A= \begin{bmatrix}-5 & 10 \\ -5 & 5 \end{bmatrix} \quad\to\quad \begin{bmatrix}1 & -2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$

となる．これより $x_1-2x_2=0$ であるから解は

$$\vec{x}= \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix... ...ix}2c \\ c \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix}2 \\ 1 \end{bmatrix} = c\,\vec{p}_2$$

となる．ただし $c$ は任意定数である． よって $\lambda=3$ に属する固有ベクトルは $\vec{x}=c\vec{p}_2$ ($c\neq 0$) である． また，固有空間は固有ベクトル全体の集合に $\vec{0}$ を 加えたものであるから，

$$W(3;f)= \left\{\left.\,{c\vec{p}_2}\,\,\right\vert\,\,{c\in\mathbb{R}}\,\right\} = \left\langle \vec{p}_2 \right\rangle$$

となる．

固有空間 $W(-2;f)$ の基底は $\{\vec{p}_1\}$ であり $\dim(W(-2;f))=1$ となる． 固有空間 $W(3;f)$ の基底は $\{\vec{p}_2\}$ であり $\dim(W(3;f))=1$ となる． また，

$$P= \begin{bmatrix}\vec{p}_1 & \vec{p}_2 \end{bmatrix}= \begin{bma... ...{bmatrix}, \qquad \det(P)= \begin{vmatrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=-1\neq 0$$

より $\{\vec{p_1},\vec{p}_2\}$ は 1 次独立であるから，

$$W(-2;f)\cap W(3;f)= \left\langle \vec{p}_1\right\rangle \cap \left\langle \vec{p}_2\right\rangle = \{\vec{0}\}$$

となる．よって，

$$W(-2;f)\oplus W(3;f)= \left\langle \vec{p}_1\right\rangle \oplus ... ...ght\rangle = \left\langle \vec{p}_1,\,\, \vec{p}_2\right\rangle = \mathbb{R}^2,$$

$$\dim(W(-2;f))+\dim(W(3;f))= \dim(\mathbb{R}^2)$$

が成り立つ． $\mathbb{R}^2$ は $W(-2;f)$ と $W(3;f)$ に直和分解される． $\{\vec{p}_1,\vec{p}_2\}$ は $\mathbb{R}^2$ の基底となる．

標準基底 $\Sigma=\{\vec{e}_1,\vec{e}_2\}$ に関する $f$ の 表現行列は $A$ である． 基底 $\Sigma'=\{\vec{p}_1,\vec{p}_2\}$ に関する $f$ の 表現行列を求める． $\Sigma$, $\Sigma'$ の座標を $(x_1,x_2)_{\Sigma}$, $(x'_1,x'_2)_{\Sigma'}$ とすると，

$$x_1\vec{e}_1+x_2\vec{e}_2=x'_1\vec{p}_1+x'_2\vec{p}_2 \quad\Right... ...x}\vec{p}_1 & \vec{p}_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x'_1 \\ x'_2 \end{bmatrix}$$

$$\quad\Rightarrow\quad \vec{x}=P\vec{x}', \quad \vec{x}= \begin{bm... ...\\ x_2 \end{bmatrix}, \quad \vec{x}'= \begin{bmatrix}x'_1 \\ x'_2 \end{bmatrix}$$

と座標変換が得られる． これを用いて， 線形変換 $\vec{y}=A\vec{x}$ を座標変換すると

$$\vec{y}=A\vec{x} \quad\Rightarrow\quad P\vec{y}'=AP\vec{x}' \quad... ...y}'=P^{-1}AP\vec{x}' \quad\Rightarrow\quad \vec{y}'=D\vec{x}', \quad D=P^{-1}AP$$

と表される． よって，基底 $\Sigma'=\{\vec{p}_1,\vec{p}_2\}$ に関する $f$ の表現行列は

$$D=P^{-1}AP= \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}^{-1} \beg... ...rix}1 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$$

となる． あらたな座標 $(x'_1,x'_2)_{\Sigma'}$ のもとでの $f$ は $\vec{y}'=D\vec{x}'$ より

$$f:\, (x'_1,x'_2)\mapsto(y'_1,y'_2); \quad y'_1=-2x'_1,\quad y'_2=x'_2$$

と表される． また，これは次のようにも示される． $\vec{x}=x_1'\vec{p}_1+x_2'\vec{p}_2$ を $f$ で変換すると

$$\vec{y} =f(\vec{x})=A\vec{x}= A(x_1'\vec{p}_1+x_2'\vec{p}_2)= x_1'A\vec{p}_1+x_2'A\vec{p}_2= x_1'(-2\vec{p}_1)+x_2'(3\vec{p}_2)$$

$$= -2x_1'\vec{p}_1+3x_2'\vec{p}_2$$

となる． $\vec{y}=y_1'\vec{p}_1+y_2'\vec{p}_2$ より， $y'_1=-2x'_1$, $y'_2=3x'_3$ を得る．

平成20年2月2日