5.11 対角行列の固有値

定理 5.31 (固有値)   上三角行列

$\displaystyle U= \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ & a_{22} &...
... \\ & & \ddots & \vdots \\ \smash{\text{\huge$0$}}& & & a_{nn} \end{bmatrix}\,,$    

下三角行列

$\displaystyle L= \begin{bmatrix}a_{11} & & & \smash{\lower1.7ex\hbox{\text{\hug...
...vdots & \ddots & \ddots & \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}\,,$    

対角行列

$\displaystyle D= \begin{bmatrix}a_{11} & & & \smash{\lower1.7ex\hbox{\text{\hug...
...a_{22} & & \\ & & \ddots & \\ \smash{\text{\huge$0$}}& & & a_{nn} \end{bmatrix}$    

の固有値はいずれも $ a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn}$ である.


(証明)     $ D$ の固有多項式は

$\displaystyle g_D(t)=\det(tE-D)= \begin{vmatrix}t-a_{11} & & & \smash{\lower1.7...
...{\huge$0$}}& & & t-a_{nn} \end{vmatrix} = (t-a_{11})(t-a_{22})\cdots(t-a_{nn} )$    

であり, $ g_D(\lambda)=0$ より 固有値 $ \lambda=a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn}$ を得る. $ L$, $ U$ についても同様である.




平成20年2月2日