5.11 対角行列の固有値

定理 5.31 (固有値)   上三角行列

$$U= \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ & a_{22} &... ... \\ & & \ddots & \vdots \\ \smash{\text{\huge$0$}}& & & a_{nn} \end{bmatrix}\,,$$

下三角行列

$$L= \begin{bmatrix}a_{11} & & & \smash{\lower1.7ex\hbox{\text{\hug... ...vdots & \ddots & \ddots & \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}\,,$$

対角行列

$$D= \begin{bmatrix}a_{11} & & & \smash{\lower1.7ex\hbox{\text{\hug... ...a_{22} & & \\ & & \ddots & \\ \smash{\text{\huge$0$}}& & & a_{nn} \end{bmatrix}$$

の固有値はいずれも $a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn}$ である．

（証明）     $D$ の固有多項式は

$$g_D(t)=\det(tE-D)= \begin{vmatrix}t-a_{11} & & & \smash{\lower1.7... ...{\huge$0$}}& & & t-a_{nn} \end{vmatrix} = (t-a_{11})(t-a_{22})\cdots(t-a_{nn} )$$

であり， $g_D(\lambda)=0$ より 固有値 $\lambda=a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn}$ を得る． $L$, $U$ についても同様である．

平成20年2月2日