5.12 演習問題 〜 固有値

問 5.32 (固有値)   次の行列の固有値とその固有値に属する固有ベクトルを求めよ．
    (1)   $${ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}$$     (2)   $${ \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}}$$     (3)   $${ \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}}$$     (4)   $${ \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}}$$     (5)   $${ \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}}$$     (6)   $${ \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}}$$
    (7)   $${ \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}}$$     (8)   $${ \begin{bmatrix} 8 & -10 \\ 5 & -7 \end{bmatrix}}$$     (9)   $${ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}}$$     (10)   $${ \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}}$$     (11)   $${ \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -5 \end{bmatrix}}$$     (12)   $${ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}$$
    (13)   $${ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}}$$     (14)   $${ \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \beta & \alpha \end{bmatrix}}$$ $(\beta \not= 0)$     (15)   $${ \begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ -\beta & \alpha \end{bmatrix}}$$ $(\beta \not= 0)$     (16)   $${ \begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix}}$$     (17)   $${ \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -5 \end{bmatrix}}$$
    (18)   $${ \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}}$$     (19)   $${ \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}}$$     (20)   $${ \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}}$$     (21)   $${ \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}}$$
    (22)   $${ \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}}$$     (23)   $${ \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}}$$     (24)   $${ \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}}$$     (25)   $${ \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -2 & -2 & -1 \end{bmatrix}}$$
    (26)   $${ \begin{bmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & -5 & 3 \end{bmatrix}}$$     (27)   $${ \begin{bmatrix} -2 & 4 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{bmatrix}}$$     (28)   $${ \begin{bmatrix} -3 & -2 & -2 \\ 4 & 3 & 2 \\ 8 & 4 & 5 \end{bmatrix}}$$     (29)   $${ \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}}$$
    (30)   $${ \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix}}$$     (31)   $${ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix}}$$     (32)   $${ \begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix}}$$     (33)   $${ \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}}$$
    (34)   $${ \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}}$$     (35)   $${ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}}$$     (36)   $${ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}}$$     (37)   $${ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 2 & -4 \\ 2 & 3 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 2 & -1 \end{bmatrix}}$$
    (38)   $${ \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}}$$     (39)   $${ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}}$$     (40)   $${ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}$$

問 5.33 (固有空間)   次の線形変換の固有値とその固有空間を求めよ． また，固有ベクトルを基底として選べるとき， この基底に関する線形変換の表現行列を求めよ． さらには，ベクトル空間が固有空間で直和分解されることを示せ．
    (1)   $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$; 点 $\vec{x}$ と原点 $\vec{0}$ と $\vec{x}$ との中点 $\vec{y}$ への変換 $\vec{x}\mapsto\vec{y}$.
    (2)   $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$; 点 $\vec{x}$ から 原点 $\vec{0}$ を通り方向ベクトルが $\vec{p}=\begin{bmatrix}2 \\ 1 \end{bmatrix}$ の直線への正射影 と $\vec{x}$ との中点 $\vec{y}$ への変換 $\vec{x}\mapsto\vec{y}$.
    (3)   $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$; 点 $\vec{x}$ から平面 $x_1+x_2+x_3=0$ への正射影 $\vec{y}$ への射影変換 $\vec{x}\mapsto\vec{y}$.
    (4)   $${ f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2;\,\, f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}\vec{x} }$$     (5)   $${ f:\mathbb{C}^2\to\mathbb{C}^2;\,\, f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\vec{x} }$$
    (6)   $${ f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3;\,\, f(\vec{x})= \begin{bmatrix} -3 & -9 & -12 \\ 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\vec{x} }$$     (7)   $${ f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3;\,\, f(\vec{x})= \begin{bmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\vec{x} }$$
    (8)   $${ f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4;\,\, f(\vec{x})= \begin{bmatrix} ... ... 1 & -2 & -3 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -5 & 3 \end{bmatrix}\vec{x} }$$     (9)   $${ F:\mathbb{R}[x]_{2}\to\mathbb{R}[x]_{2};\,\, F(f)(x)=\int_0^{x}f(y)\,dy }$$
    (10)   $${ F:\mathbb{R}[x]_{2}\to\mathbb{R}[x]_{2};\,\, F(f)(x)=f'(x) }$$     (11)   $${ F:\mathbb{R}[x]_{2}\to\mathbb{R}[x]_{2};\,\, F(f)(x)=f''(x) }$$
    (12)   $${ F:\mathbb{R}[x]_{1}\to\mathbb{R}[x]_{1};\,\, F(f)(x)=f(1-x) }$$     (13)   $${ F:\mathbb{R}[x]_{1}\to\mathbb{R}[x]_{1};\,\, F(f)(x)=f(2)+f(1)x }$$
    (14)   $${ F:\mathbb{R}[x]_{2}\to\mathbb{R}[x]_{2};\,\, F(f)(x)=f(0)+xf'(x)+x^2f''(x) }$$
    (15)   $${ F:\mathbb{R}[x]_{2}\to\mathbb{R}[x]_{2};\,\, F(f)(x)=f(1-x)+f'(2-x)+f''(3-x) }$$
    (16)   $${ F:\mathbb{R}[x]_{3}\to\mathbb{R}[x]_{3};\,\, F(f)(x)=f(x)+f'(1)(1+x)+f''(x)+f'''(2)(x+x^3) }$$

平成20年2月2日